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0
c
:J
0
(V)
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0
N
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.......
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O'l
·;::::
>0..
0
u
• L fn converge normalement sur tout [a; +oo[, a > 1 fi xé
n
• L fn ne converge pas uniformément sur ]O; + oo[ ;
n
• L f,, converge uniformément sur tout [a; +oo[, a > 0
n
fixé.
a) J ) Convergence simple, convergence absolue
Six-::/= 0 ,
alors L lfn(x) I converge ; et L lf n(O)I
n
n
converge.
2) Convergence normale
Etudier les variations de 1fn 1 sur IR+ .
X
0
1
+oo
J 2n - I
1
IJ,, l' (x)
+
î
lf,,l (x)
0
0
D'où:
ll f,,l loo = f,, ( ~)
-
l + - -
1
(
1 ) _,,
- .J2n - 1
2n - 1
1
Pour a > 0 fixé, il existe N E N* tel que ~ ::;; a, et
v2N- l
on a, pour tout n de N tel que n ~ N :
V x E [a; +oo[, lfn(x) I::;; fn(a).
3) Convergence uniforme
Pour x E IR+ fixé, la série L fn (x) est alternée et ( 1 f,, (x )1) n
n
décroît, do nc (TSCSA, 4.3.8 2) c) Prop. p. 268) :
V n E N, IRn(x) I = 1 ~ fk(x) I ::;; l!n+ I (x) I
k=n+I
1
::;; ll!,,+ 1 lloo = .J 2 e(n + l ) ·
C.V.
Ceci montre Rn ~ 0 sur IR .
11 00
4) Somme
Pour x E IR* fixé :
+oo
+oo (
1 )n
L fn(X) =X L
- 1 +x2
n=O
n=O
x(l + x 2 )
2+x2 ·
X
1
l + - -
1 +x2
Réponse: • L fn ne converge pas normalement sur] - oo; 0[
n
ni sur [O; +oo[ ;
• L fn converge normaleme nt sur tout
n
] - oo; -a ] U [a ; +oo[, a > 0 fixé
• L fn converge uniformément sur IR
n
• V X E IR,
+oo
x(l + x 2 )
L:: f,,(x) =
2 ·
n=O
2 +x
b) Remarquer d'abord:
'Vx E IR* - {- 1, l}, 'Vn E N*, fn (~) =Xfn(X) ,
ce qui permet de se ramener à lx l < 1.
Puis: Vx E)-1 ; l[, Vn EN* ,
xn -xn+ I
( 1 - x) f, (x) = - - - - - -
. n
(l - xn)(l - xn+ l )
1
1
- - - - - -
1 -xn
1 -xn + I ,
d'où:
'VxE) -1 ; 1[, 'VnEN* ,
"
1 ( 1
1
)
fk(X) = - - - - -
·
L
1 - X 1 - X
1 - xn+ 1
k = I
Réponse:• l'ensemble de convergence simple (et absolue) de
L fn est IR - {-1, 1}
n
• L f,, ne converge uniformé ment sur aucun des intervalles
n
]- oo; -1[,]- l ; l[,]l; +oo[ ; pour tout(a,b) de IR 2 telque
0 ::;; a < l < b, L fn conve rge normalem e nt s ur
n
] - oo; - b] U [-a; a ] U [b ; +oo[ .
• 'VxE IR - {- 1; 1),
X
+oo
1 ( l - x)2
?; fn(X) = _ l_
(x - 1)2
c) Montrer, par récurrence sur n :
s i lx l < 1
si lx l > 1.
Réponse:• l'ensemble de convergence simple (et absolue) de
LfnestD={ zE C ; lz l> l}
n
• L f,, ne converge pas uniformément sur D ;
n
• L f,, converge no rmalement sur tout compact K de C tel
n
que K c D .
• V z E D ,
+oo
2
L fn(Z) = - 2
-
.
n=O
z - 1
1 677