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0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
m) 1) Convergence simple
1
Pour x E JR~ fixé, f,, (x) ~ - 2
- - > 0
noo n x lnn
l
et '\' _ _
L..., n 2 lnn
11 :;;, 2
converge.
2) Convergence normale
Etudier les variations de f, 1 •
X
Ü
1,; (x)
+
f,, (x)
0
D'où:
+oo
n
0
0
llfn lloo = fn (~)=~,et donc L ll fnlloo diverge.
n
nnn
n:;;, 2
Pour a > 0 fixé, à partir d'un certain rang, on a :
ll fn l[a;+oo[lloo = fn(a).
3) Convergence uniforme
Soit x > 0 fixé.
.
X
Pui squ e 2 2
déc roît sur [2; +oo[
lnt(l +t X)
r +oo
et que Ji série-intégrale (cf. 4.3.7 l) a) p. 256),
d'où: 'Vn E N - {0, 1},
1
+00 X
0 ~ R 11 (x) ~
2 2
dt
n
(1 + t X ) ln t
~ -
1
- r +oo
X dt
= _l_. ( ~ - Arctan (nx))
°"' ln n } ,,
1 + i2 x2 ln n 2
Ceci montre :
7r
'Vn EN- {0,1}, ll Rnlloo ~ -
21nn
C.V.
et donc : Rn ----+ O.
1100
7r
~ --.
21nn
Réponse: • L J, 1 converge normalement surtout [a; +oo[,
n
a > 0 fi xé;
• L f,, ne converge pas normalement sur lR+.
n
• L f,, converge uniformément sur lR+ .
n
n) 1) Convergence simple
1
Pour x E lR fi xé, '\' - converge si et seulement si x > 1
L_, nX
n:;;, 1
(exemple de Riemann, cf. 4.2.3 Th . p. 228).
2) Convergence normale
1
1
• 'Vn ~ 1, Sup lf 11 (x) I = - ,et L - diverge.
xE]l: +oo[
n
n:;;, I n
•Pour chaque a E]l ; +oo[ , on a :
1
'Vn ~ 1,
Sup l/,i (x) I = a' et
xE[a:+oo[
n
1
'\' - converge.
L..., na
n:;;, I
3) Convergence uniforme
1
Puisque, pour x > 1 fixé, l'application t 1----+ - est décroistx
1
sante sur[l; +oo[ et que t 1----+ - est intégrable sur [l ; +oo[,
fX
on peut utiliser une comparaison série-intégrale (cf. 4.3.7 l)
a) Corollaire p. 256) :
'Vn E N*, 'Vx EJl ; +oo[,
- +oo 1
1+ 00 - x - (n + 1)- x+I
R 11 (x) - L - ~
t dt - - - - -
k=n+l p
n+I
-X+ 1
On en déduit que, pour tout n de N*, R 11 n'est pas bornée sur
Jl ; +oo[.
Réponse : • l'ensemble de convergence simple de L f 11 est
Il
Jl ;+oo[
• L J, 1 ne converge pas uniformément sur J 1; +oo[;
Il
• L fn converge normalement sur chaque [a; +oo[, a > 1
Il
fixé.
o) J ) Convergence simple, convergence absolue
Soit x E lR fi xé.
• L lf,,(x) I converge si et seulement si x > 1 (cf. exercice
Il
n) ci-dessus).
•Six ~ 0, alorsfn(x) ~ O.
ll OO
• Si x EJO; l], alors L (-~)n converge d'après le TSCSA
n:;;, 1 n
(cf. 4.3.5 Exemple p. 250).
2) Convergence normale: cf. n) ci-dessus.
3) Convergence uniforme
• L fn ne converge pas uniformément sur JO; +oo[, puisque
Il
Sup lfn(x) I = 1 ~ O.
xE]O;+oo[
noo
•Pour a EJO; +oo[ fixé, on a, d'après le TSCSA (cf. 4.3.8 2)
c) Proposition p. 268) :
'Vn EN*, 'Vx E [a; +oo[,
1
+oo ( - 1 )k 1
1
1
IRn(x) I = L. ---;:x- ~ (n + l )x ~ (n + l)a'
k=n+I
C.V.
et donc R 11 ----+ 0 sur [a; +oo[.
1100
Réponse : • l'ensemble de convergence simple de L f 11 est
Il
JO; +oo[
•L'ensemble de convergence absolue de L f 11 est Jl ; +oo[
Il
• L fn ne converge pas normalement sur Jl ; +oo[ ;
Il