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Montrer que chaque gn llR+ est décroissante et négative, d'où
l lg,, 1[- a :a ] l loo = -g,, (a) . D 'autre part: V x E [-a ; a ] ,
lhn(x)l=lxl ( -
1
- -
1
-
) ~ a ( -
1
- -
1
- ) ,
Jn 0l+î
Jn Jn+l
et L ( ~ - ~) converge (série télescopique).
n;;, l vn vn+l
3) Convergence uniforme
On a vu que, pour chaque n de N*, f,, n'est pas bornée sur lR .
Réponse:• L fn converge simplement sur lR
n
• L f,, converge normalement sur chaque [-a; a ] , a ;:::, 0 fixé
,,
• L f, 1 ne converge pas uniformément sur lR .
n
k) Soient n E N* , x E lR+.
.
ln(2n)
•St x ~ n, alors 0 ~ f,,(x) ~ - - 2
-
n
.
ln(2x)
•St x ;:::, n , alors 0 ~ f,,(x) ~ - -
2
- .
X
ln(2x)
1 1
L'application x t----+ - -
2
- décroît pour x ;:::, - e 2.
X
2
Fi nalement :
ln (2n)
V(n ,x) EN* x lR+ , 0 ~ f,,(x) ~ - - 2
- .
n
~ ln(2n )
Et L - -
2
- converge.
11;;, I n
Réponse: L f,, converge normalement sur lR+ .
n
l) 1) Convergence simple
Pour x E lR fi xé: n 2 f 11 (x) = ne- 2 ----+ O.
noo
2) Convergence normale
• (Vn E N*,
1
llfn lloo = f11(n) =-),donc L ll f11 lloo 11;;, I
verge.
•Pour a E lR+ fixé, en notant N = E(a) , on a:
V n ;:::, N ,
V x E] - oo; a], 0 ~ fn(X) ~ f11(a).
3) Convergence uniforme
ire méthode
Soit (n ,x) E N* x lR fixé ; en utilisant l'inégalité de CauchySchwarz ( l.6.2 Th. 1 p. 79), on a :
(R,,(x))2 = ( ~ ~e- k=11+ I
~ ( ~ ~) ( ~ e-2(x-k)
2
) .
k=11+ I k
k=n+ I
+oo 1
+oo
1
D'une part :
L k2 ~ L k(k - 1)
k=11+1
k=11+1
D'autre part :
+oo
2
+oo
2
L e-2(x - k) ~ 2 L e-2p
k=n+ I
p=O
+oo
2
~ 2 ~ e- 2 p =
< 3 .
L
l -e- 2
p=Ü
Ainsi: Vn E N*, Vx E JR, IR,,(x) I ~ . Œ,
y;;
c.u.
ce qui montre: R 11 --+ 0 sur lR+ .
noo
2e méthode
Plus généralement, considérons la série d'applicatio ns L f,, ,
n;;, I
f,, : lR ----+ lR
, où ( 0: 11 ) 11 :;;, 1 est une sui te réelle conver -
.
2
. ""
X t----+ a 11 e- <~ -n)
geant vers O.
On a, en notant pour tout (n ,x) de N* x JR ,
+oo
R11(X) = L fk(X) et f311 = Sup lo:kl :
k=n+I
+oo
+oo
2
IR,,(x) I ~ L lcxk le- (x- k)
2 ~ f3 11 +1 L e- (x - k)
k=11+1
k=11+1
+oo
2
,,- f3 . ~ - (x- k)
: : : : : ; : n+I L e
k=- 00
+oo
0
+oo
(ici, L désigne L + L lorsque les deux séries converk=- oo
k=- oo k= 1
gent).
Montrer que la « série » L gk , où gk : x t----+ e - 2
,
keZ
converge simplement sur lR et que sa somme G est 1-périodique.
Remarquer:
l l
VkE Z 'VxE[- - · - ]
,
2 ' 2 ,
keZ
1 1
[ - 2 ; 2 ], puis que G est bornée sur lR .
On obtient ainsi :
Vn E N* , V x E JR, IR,,(x) I ~ f3n +1 llG lloo,
C.U.
donc R 11 - - + 0 sur lR .
11 00
Réponse:
• L f,, converge normalement sur tout] - oo; a], a E lR+
n
fixé;
• L f 11 ne converge pas normalement sur lR .
n
• L f,, converge uniformément sur lR .
n
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