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>Q.
0
u
• L !11 co nverge no rmalement sur tout [O; a], pour a E IR+
Il
fixé
• L f 11 ne converge pas uniformément sur IR+.
Il
f) l) Convergence simple
• (V x E [0; l [, 0 :::;; ,f,, (x) :::;; x") , et Lx" converge
Il
• (Vn EN,
1
fn( l ) = - - ), donc L fn(l) diverge.
1 +n
11
2) Convergence normale
• Vn E N,
1
ll fn ll oo ;;:: fn O- ) = - - , donc L ll fn lloo
1 +n
,,
diverge.
• Pour a E [0; l[ fi xé, on a :
Vn E N, llfn l[O:a] lloo:::;; a
11 et L a" converge.
Il
3) Convergence uniforme
On a : V n E N* , V x E [O; l [,
+oo
xk
2n
xk
nx2"
R11 (x)= L - - ; ; : : L -- ~ -k=n+ 1 1 + kx
k=n+ 1 1 + kx
1 + 2nx '
d'où: Vn E N - {0, 1},
c.u.
et donc R 11 ~ 0 sur [0; l[.
1100
Réponse:• L J,, converge simplement sur [0; 1[
n
• L J,, converge normalement sur tout [0; a ] , a E [0; 1 [ fix é
n
1
• L fn ne converge pas uniformément sur [0; l[ .
Il
g) Réponse : • L 'ensemble de convergence s imple de L fn
Il
est IR- {- 1,0,1}.
• L f 11 converge normalement sur tout
Il
] - oo; a ] U [b ; O[U]O; c] U [d ; +oo[, (a,b ,c,d) E IR 4 fi xé
tel que a < -1 < b < 0 < c < 1 < d
• L fn ne converge unifom1ément ni sur] - oo; - 1 [ ni sur
Il
]1 ; +oo[ .
h) Réponse : • L f 11 converge normalement sur tout [O; a],
n
a > 0 fixé;
• L f,, ne converge pas normalement sur IR+ .
n
• L fn converge uniformément sur IR+ .
n
i) Remarquer que chaque f,, est impaire.
l ) Convergence simple
l
Pour x E IR~ fixé, f,, (x) ~ x 3
> 0 et L 3
converge.
noo n
n;;, In
2) Convergence normale
E tudier les variations de f n.
X
0
n2
+oo
1,; (x)
+
0
f,, (x )
0
0
D'où :
ll fn ll oo = fn (n
2 ) =
2 ~ , et donc Lll J,1 lloo diverge.
n
Pour a E IR+ fixé, il existe N E N te l que N 2 ~ a, et donc:
"ln ;;:: N , llfn l(O;a] lloo = fn(a).
3) Convergence uniforme
On a : V n E N*, V x E IR~ ,
+oo
kx
Rn (X) = L 4 2
k=n+ l k +x
et donc : Vn E N*,
c.u.
ce qui mo ntre : R 11 ~ O.
1100
2n
;;:: ' ""'
L.., k4 + x2
k=n+ l
kx
n(n + l)x
;;::
4
2 ,
16n +x
Réponse : • L f 11 converge s implement sur IR
Il
• L fn converge normalement sur tout [ - a; a ], a ;;:: 0 fi xé
Il
L fn ne converge uniformément nj sur ] - oo; 0] ni sur
n
[O; +oo[ .
j) 1) Convergence simple
Pour x E IR fi xé, former un développement asymptotique
(lorsque n -----+ oo) :
X
X
(
1 )-i ( X ( l ))
f 11 (x) =th .Jri - .Jri 1 + ~ = .Jri + 0 nJl
_ . . . : : _ (1 + 0 (~)) = 0 ( - 1 ) .
.Jri
n
n 3f 2
2) Convergence normale
• Po ur chaque n de N*, f 11 n'est pas bornée sur IR .
• Soit a E IR+ . On peut écrire f,, = g 11 + h 11 ,
où g 11 ,h 11 : IR -----+ IR sont définies par:
V x E IR,
X
X
)
h,,(x) = '- -
~ .
..;n
..;n + 1