"'O
0
c
:J
0
(V)
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0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
et donc L fn converge no rmale ment (donc uniformément)
n
sur] - oo; - a ] U [a ; +oo[.
3) Convergence uniforme
On a: 'V n EN, V x ER*,
+oo
Rn(X) = L xe-kx
2
X
- (n+ l )x 2
2 e
'
k=n+ l
1 - e- X
d'où
. Jn+î
=
i
,.._, - - - ----+ +oo.
~
- - 1100
e
1100
e.y n -r- i (1 - e 11+ 1 )
R éponse:• L f,, converge simple ment sur R .
n
• L f n converge normalement sur to ut
n
] - oo; - a ] U [a ; + oo[, a > 0 fixé.
• L fn ne converge pas uniformément sur R .
n
c) 1) Convergence simple
Si x E [O; l[, alors L n 2 (x 2 n - x 211 + 1 ) converge (règle de
Il
d'Alembert) ; et L f,, (0) converge.
Il
2) Convergence normale
Etudier les variations de f,, .
X
0
1,; (x )
+
f,, (x )
0
D'où : ll fn lloo = f,, ( 2
n
2
: 1
)
2n
211 + 1
0
0
= ~ (1 + 2-)-2" , . . . , ~ ----+ + oo.
2n + 1
2n
1100 2e 1100
Pour a E [O; l [ fixé, il existe N E N tel que :
'Vn EN,
2n
(n ? N ~ - - ? a) ,
2n + 1
et donc, pour tout n ? N ,
Sup lf 11 (x) I = f 11 (a).
3) Convergence uniforme
On a vu :
n
ll fn lloo "' -
2
,
noo e
xe fO:a]
donc ll f nl loo -+-+ O.
noo
Réponse : • L f,, converge s implem ent sur [O; l]
Il
• L f n converge normalement (donc uniformément) sur tout
Il
[O ,a ], a E [O; l[ fixé
• L fn ne converge pas uniformément sur [O; 1].
Il
d) 1) Convergence simple
Pour x ER~ fixé, n 2 f 11 (x) = n 2 x 2 e-x,/ïi ----+ 0 ;
11 00
et L j, 1 (0) converge.
Il
2) Convergence normale
E tudier les variations de fn.
X
0
2
./ii
+oo
1,; (x )
+
I ~
f,, (x)
0
0
D'où :
ll fn lloo = fn ( ~) = e~n , et L ~ diverge.
.Y "
11 ~ 1 n
Po ur a > 0 fi xé, il existe N E N te l que :
\:l n EN,
2
(n ? N ~ .jii ,,; a) ,
et donc, pour n ? N , ll fn l[a:+oo[lloo = fn(a).
3) C onvergence uniforme
On a vu : 'V n E N*, 'V x E R~,
+oo
2n
R n(x) = L x 2 e - x./k? L x 2 e-x./k? nx 2 e- xffn,
k= 11+ l
k=n+ l
, , .
*
( 1 )
1
C.V.
d ou . 'V n E N , R11 ~ ? - , et donc R11 -+-+ O .
..;2n
2e
noo
Réponse : • L f n converge simplem ent sur R+
n
1 • L f 11 converge normalement sur tout [a; + oo[, a > 0
n
fi xé
• L f n ne converge pas unifo rméme nt sur R + .
Il
e) 1) Convergence simple
X
Pour x E R~ fixé, f n (x) "' - 2
> 0
noo n
l
et L 2 converge.
n ~ l n
2) C onvergence normale
Pour tout n de N*, fn n'est pas bornée sur R+ .
Montrer que, pour n ? 1 fixé, fn est c roissante.
Pour a E R+ fi xé , on a donc :
'Vn E N*, ll fnl [O:a] lloo = f n(a ) .
3) Convergence uniforme
On a vu: llfn lloo = +oo -+-+ O.
noo
Réponse : • L fn converge simplement sur R+
n
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