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0
c
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0
N
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.......
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O'l
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>0..
0
u
Supposons l convexe et soient n E N, x E [O; l].
Notons, pour k E {0, ... ,n }, Pk = C~xk(l - x)n - k.
On a (cf. ex. 5.2.21) :
n
LPk = 1 et
k = Ü
n
LkPk = nx ,
k=Ü
d'où, puisque lest convexe, en utilisant l'inégalité de Jensen,
Analyse MPSI, 5.4.14) Prop. 3):
n
(k) ( n k)
BnCJ) (x) = ~ pkf -;:; ~ l ~ Pk -;:;
= l (~ t kpk) = l(x).
k=O
a) 1) Soient l E oc[O; 1 1, n E N . On a, pour tout X de [O; 1] :
2) Le cas n = 0 est d'étude immédiate.
•Si l est croissante, alors, pour tout n de N*, pour tout k de
(0, ... ,n - 1},onal C :
1
) - l(~) ~ O, d'où, d'après l),
pour tout x de [0; l], ( Bn (f) )' (x) ~ 0, Bn (f) est croissante.
• Sil est décroissante, en appliquant le résultat précédent à - l,
et puisque Bn est linéaire positive, on déduit que Bn (f) est décroissante.
b) 1) En appliquant le résultat de a) 1), pour n EN - {0; l}
fixé, à x 1----+ l (x + ~) - l(x) , on obtient, pour tout
x de [0; l] :
(
)
"
n- 2
B,,(f) (x) = n(n - 1) L c~-2
k=O
(1(k :2)
-le:
1
) ) - (1C:
1
) - l(~)))
n- 2 k
( (k +2) (k+l)
= n(n - 1) ~ cn - 2 l -n- - 21 -n+ 1 (~)) xk(l-x)n-2-k_
2) Les cas n = 0 , n = 1 sont d'étude immédiate.
• Sil est convexe, alors, pour tout n de N - (0, 1} et tout k de
{0, ... ,n - 2},ona:
l -
-1 - - + -
( k+l)- (1 (k k+2))
n
2 n
n
~ ~(1 (~)+1c: 2)) ,
d'où: l ( k:
2
) - 21 ( k:
1
) + l ( ~) ~ 0,
et donc, d'après 1 ), ( Bn (f))
/1
(x) ~ 0 , Bn (f) est convexe.
• Si lest concave, en appliquant le résultat précédent à - l,
on déduit que Bn (f) est concave.
2
a) • x E [0; l] ===} lf,,(x) I ~ 2
n
• x E] - oo; O[U]l ; +oo[===} lln(x) I----+ +oo.
11 00
Réponse : L'ensemble de convergence simple de L ln
"
est [O; 1] ; L ln converge normalement sur [O; l] .
n
b) 1) Convergence simple
'V x E JR*, n 2 f,, (x) = n 2 xe-nx
2
-----+ 0;
noo
donc L ln converge simplement sur JR.
n
2) Convergence normale
Etudi er les variations de ln ((fn) est impaire). On a :
ll ln lloo =ln ( ~) =~ '
donc L llln lloo diverge.
n
Pour a > 0 fixé, il existe N E N tel que :
'Vn EN,
l
(n ~ N ===} ;;c ~ a),
v2n
X
0
1
j2,;
+oo
l~(x)
1
+
0
1
ln(X)
0
0
d'où:
'V n E N, (n ~ N ===} ('V x E] - oo; a] U [a; +oo[,
11,, (x) I ~ ln(a)) }