-0
0
c
:J
0
ff'l
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
et, en prenant la valeur en y :
IBnCf)(y) - f(y) I ~ ë
2 llfl loo (
2
)
+ cx 2
Bn(e2)(y) - 2y Bn(e1)(y) +y Bn (eo)Y .
Commee2(y) - 2ye 1 (y)+ ieo (y) = (y - y) 2 = 0 , on obtient :
IB,,(e2)(y) - 2y Bn (e 1)(y) + B,,(eo)(y) I
= 1 ( B,. (e2)(y) - e1(y)) - 2y ( B,. (e 1 )(y ) - e 1 (y ))
+y2 ( Bn (eo)(y) - eo(Y)) 1
= IB,.(e2)(y) - e1(Y) I ~ llB,.(e2) - e1 lloo ·
D'après c) , il existe N tel que :
"ln E N,
(
CX2ê
)
n ~ N = } ll B,,(e2) - e1 lloo ~
·
2 11 f lloo + l
On a donc :
"ln EN, (n ~ N =? ll B,. (f)-flloo ~ 2t:),
C.V.
et finalement : B,, (f) ----+ f.
11 00
Immédiat par la définition de 8 11 (f) (x) .
B,, (f)(x) = t C~J (~)xk (l - x)n- k
k=O
1
B,,(])(x) = t C~J (1 -~) xk( l -x)n-k
k=O
=
t c~1 (~) xn-1 (1 -x)'
[l=n - kl l=Ü
n
= BnCf)(x).
a) B,. (Àf + g)(x)
= to c~ (v (~) +g (~) ) xk(l - x)n-k
= À t C~J (~)xk(l - x)n - k
k=O
+ t C~g (~)xk(l - x)n - k
k=O
n
= ÀBnCf)(x) + B,,(g)(x).
. ~ ck (k) k 11-k
b) f ~ O => 811<.f)(x)= L., ,J ;; x ( 1 - x) ~ O.
k=O
c) f ~ g = } g-f ~ 0 =? Bn(g-f) ~ O
<===? B,,(g) - B,,(f) ~ O <===? Bn(f) ~ B,,(g).
Cf. aussi exerc ice 5.2.23.
a) • Si f est majorée, en notant M = Sup f(t), on a, pour
! E(Ü: l]
tout x de [O; l] :
•De même, si f est minorée, en notant m = Inf j(t) :
re [O: l]
n
f
'""' ck
k
n-k
8 11 ( )(x) ~ L.., ,,mx ( l - x)
= m.
k=O
O n peut aussi utiliser l'exercice 5.2.27 c) :
{
f ~ M =? B,, (f) ~ B,,(M ) = M
m ~ f = } Bn(f) ~ B,,(m) =m.
b) On a , pour tout n de N et tout x de [O; l] :
IB,, (f)(x) I = ltoC~J (~) xk(I -xt-kl
~ t e~ i1(~) l xk(l -x)" - k
k=O
= Bn(lfl)(x) ~ B,,(ll f lloo)(x) = ll f lloo ·
Remarque:
Notons E = cü([O; 1],C), muni de Il · 11 00 .
Pour tout n de N , l'application B,, : E ----+ E est linéaire contif r--'> Bn (f)
nueet(puisqu'aussi Bn( l ) = 1): lllBn lll = l.
Soient f E oc[O: IJ , n EN , x E [0; l], A= B 11 (f)(x) E li(.
Puisque 8 11 est linéaire po sitif (cf. exerc ice 5.2.27), que
8 11 (1) = 1, et que 8 11 (f) = B,, (f) (cf . exercice 5.2.25), o n a :
0 ~ Bn(lf - A 1
2 ) = B,, (1 ! 1
2 - (Af + Af) + IA 1
2 )
= Bn( IJ l 2 ) - ( ABnCf) + AB,.(f)) + IA 1 2 .
Ains i, pour to ute f de oc[O; Il , tout n de N , et tout (x,y) de
[0; 1]2 :
B,,(IJ l 2 )(y) - ( BnCf)(x)BnCf)(y)
+BnCf)(x)Bn(f)(y)) + IB,,(f)(y) l 2 ~ O.
E n particulier, en remplaçant y par x, on obtient :
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+ cx 2
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Commee2(y) - 2ye 1 (y)+ ieo (y) = (y - y) 2 = 0 , on obtient :
IB,,(e2)(y) - 2y Bn (e 1)(y) + B,,(eo)(y) I
= 1 ( B,. (e2)(y) - e1(y)) - 2y ( B,. (e 1 )(y ) - e 1 (y ))
+y2 ( Bn (eo)(y) - eo(Y)) 1
= IB,.(e2)(y) - e1(Y) I ~ llB,.(e2) - e1 lloo ·
D'après c) , il existe N tel que :
"ln E N,
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n ~ N = } ll B,,(e2) - e1 lloo ~
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On a donc :
"ln EN, (n ~ N =? ll B,. (f)-flloo ~ 2t:),
C.V.
et finalement : B,, (f) ----+ f.
11 00
Immédiat par la définition de 8 11 (f) (x) .
B,, (f)(x) = t C~J (~)xk (l - x)n- k
k=O
1
B,,(])(x) = t C~J (1 -~) xk( l -x)n-k
k=O
=
t c~1 (~) xn-1 (1 -x)'
[l=n - kl l=Ü
n
= BnCf)(x).
a) B,. (Àf + g)(x)
= to c~ (v (~) +g (~) ) xk(l - x)n-k
= À t C~J (~)xk(l - x)n - k
k=O
+ t C~g (~)xk(l - x)n - k
k=O
n
= ÀBnCf)(x) + B,,(g)(x).
. ~ ck (k) k 11-k
b) f ~ O => 811<.f)(x)= L., ,J ;; x ( 1 - x) ~ O.
k=O
c) f ~ g = } g-f ~ 0 =? Bn(g-f) ~ O
<===? B,,(g) - B,,(f) ~ O <===? Bn(f) ~ B,,(g).
Cf. aussi exerc ice 5.2.23.
a) • Si f est majorée, en notant M = Sup f(t), on a, pour
! E(Ü: l]
tout x de [O; l] :
•De même, si f est minorée, en notant m = Inf j(t) :
re [O: l]
n
f
'""' ck
k
n-k
8 11 ( )(x) ~ L.., ,,mx ( l - x)
= m.
k=O
O n peut aussi utiliser l'exercice 5.2.27 c) :
{
f ~ M =? B,, (f) ~ B,,(M ) = M
m ~ f = } Bn(f) ~ B,,(m) =m.
b) On a , pour tout n de N et tout x de [O; l] :
IB,, (f)(x) I = ltoC~J (~) xk(I -xt-kl
~ t e~ i1(~) l xk(l -x)" - k
k=O
= Bn(lfl)(x) ~ B,,(ll f lloo)(x) = ll f lloo ·
Remarque:
Notons E = cü([O; 1],C), muni de Il · 11 00 .
Pour tout n de N , l'application B,, : E ----+ E est linéaire contif r--'> Bn (f)
nueet(puisqu'aussi Bn( l ) = 1): lllBn lll = l.
Soient f E oc[O: IJ , n EN , x E [0; l], A= B 11 (f)(x) E li(.
Puisque 8 11 est linéaire po sitif (cf. exerc ice 5.2.27), que
8 11 (1) = 1, et que 8 11 (f) = B,, (f) (cf . exercice 5.2.25), o n a :
0 ~ Bn(lf - A 1
2 ) = B,, (1 ! 1
2 - (Af + Af) + IA 1
2 )
= Bn( IJ l 2 ) - ( ABnCf) + AB,.(f)) + IA 1 2 .
Ains i, pour to ute f de oc[O; Il , tout n de N , et tout (x,y) de
[0; 1]2 :
B,,(IJ l 2 )(y) - ( BnCf)(x)BnCf)(y)
+BnCf)(x)Bn(f)(y)) + IB,,(f)(y) l 2 ~ O.
E n particulier, en remplaçant y par x, on obtient :