-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
Si, pour un p de (0, ... ,n - 2}, on a :
p
Vx E [xp; Xp+ I ] , f(x) = f(a) + 2:.:.>,k(X - Xk),
alors, pour tout x de [xp+ 1; xp+2] :
= f (a)+ taJ'k(Xp+ l - Xk) + (~ À k) (x - Xp+ I)
= f(a) + tµ, k ( (xp+ l -xk) + (x -xp+1))
k=O
p + l
+Àp+ l (x -xp+1)= f(a) + L µ,k(x -xk)k=O
Ceci montre (par récurrence sur p) :
Vp E (0, ... ,n - 1), Vx E [xp; xp+J ],
p
p
k=O
n- 1
et donc: k=O
b) Soit k E (0, ... ,n - 1). Remarquons:
Vx E [a; b], gk(X) = ~ (x - Xk + lx - Xk l).
D'après l'exercice 5.2.21 c), pour tout a > 0 , il existe un polynôme Ak de IR[X] tel que:
Vt E [-1; l], lltl - Ak(t) I ~ a.
Par translation et homothétie, on en déduit que, pour tout f3 > 0 ,
il existe un polynôme Bk de IR[X] tel que :
Vx E [a ; b], l1x - xk l - Bk (x) I ~ {3.
1
Enfin, en considérant 2
(X - Xk + Bk), on obtient un polynôme
Pk de IK[X] tel que :
Vx E [a; b],
n- 1
c) En notant P = f (a)+ L µ,k Pk, qui est un polynôme de
k=O
IK[X] , on a, d'après a) et b) :
Vx E [a; b],
ê
ê
lf (x ) - P(x ) I ~ - + - = e.
2
2
a) Puisque f est continue sur [a; b], f est uniformément sur
[a ; b] (théorème de Heine). Il existe donc a > 0 tel que :
V(x,y) E (0; 1] 2 ,
(1x - YI ~ a==} lf(x) - f (y)I ~ ê).
Soit (x,y) E [O; 1] 2 .
•Si lx - Y I~ a, alors lf(x) - f(y) I ~ e .
•Si lx - YI > a, alors:
lf(x) - f(y) I ~ lf(x) I + lf(y) I ~ 2llfl loo
,,::: 211 f lloo ( _ )2
-..::
2
X
y
a
b) • VÀ E IR , V f,g E E , Vn EN , Vx E [0; l],
Bn (Àf + g) (x) = ta c~ (v (~)+g (~) )xk(I -x)n-k
= ÀBnCf)(x) + Bn(g)(x).
• Sif ~ 0 , alors:
Vn E N, Vx E [0; l],
B,,(f)(x) = t C~J(~)xk(l - x)n - k ~ O.
k=O
c) Cf. exercice 5.2.21 :
fi
• B,,(eo )(x ) = L: C~xk (l -x)n- k
k=O
=(x+c1-x))" =l= eo(x)
Il
k k k
Il k
• Bn(e 1)(x) = L::C,, - x (l - x) - =x =e 1(x)
k=O n
~ Ck (k)2 k
k
• B,,(e2)(x) = L
n ~ X (1 - x )
11
-
k=0
1 (
)
n-l
l
= - x (n - l)x + 1 = - - e2(x) + - e l (x).
n
n
n
Ainsi : Bn (eo) = eo, Bn (e1) = e 1,
x(l - x)
1
ll B,,(e2) - e2 lloo = Sup
= - ----+O.
x E[O: l]
n
4n 11 00
d) D'après a), on a, pour tout (x,y) de [O; 1] 2 :
lf(x) - f(y)eo(x) I = lf(x) - f(y) I
_, . , + 2ll f lloo ( _ )2
"""'- ê
2
X
y
a
= uo(x) +
2 11
~~l oo (e2(x) - 2ye1 (x) + y
2 eo(x) ) ,
c'est-à-dire:
211 f lloo
2
If - f (y)eo l ~ u o + 2 (e2 - 2ye1 +y eo).
a
Soit n E N. D'après b), on a, pour tout (u, v) de E 2 :
u ~ v ~ v - u ~ 0 ==} B 11 (v - u) ~ 0
~ B 11 (v) - B 11 (u) ~ 0 ~ B 11 (u) ~ Bn(v) ,
et donc B 11 est croissante.
Puis, pour tout (u ,v) de E 2 :
l u i ~ v ~ -u ~ v ~ u ==} -B 11 ( u) ~ Bn(v) ~ B 11 (u )
~ IBn(u)I ~ Bn(v).
On déduit, pour tout n de N et y de [O; 1] :
IBnCf) - f(y)eo l = IBnCf) - f(y)Bn(eo) I
2l lf lloo (
2
)
::;;; c Bn (eo )+ ~ B,, (e2) - 2yB,,(e 1)+y Bn (eo),
0
c
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Si, pour un p de (0, ... ,n - 2}, on a :
p
Vx E [xp; Xp+ I ] , f(x) = f(a) + 2:.:.>,k(X - Xk),
alors, pour tout x de [xp+ 1; xp+2] :
= f (a)+ taJ'k(Xp+ l - Xk) + (~ À k) (x - Xp+ I)
= f(a) + tµ, k ( (xp+ l -xk) + (x -xp+1))
k=O
p + l
+Àp+ l (x -xp+1)= f(a) + L µ,k(x -xk)k=O
Ceci montre (par récurrence sur p) :
Vp E (0, ... ,n - 1), Vx E [xp; xp+J ],
p
p
k=O
n- 1
et donc: k=O
b) Soit k E (0, ... ,n - 1). Remarquons:
Vx E [a; b], gk(X) = ~ (x - Xk + lx - Xk l).
D'après l'exercice 5.2.21 c), pour tout a > 0 , il existe un polynôme Ak de IR[X] tel que:
Vt E [-1; l], lltl - Ak(t) I ~ a.
Par translation et homothétie, on en déduit que, pour tout f3 > 0 ,
il existe un polynôme Bk de IR[X] tel que :
Vx E [a ; b], l1x - xk l - Bk (x) I ~ {3.
1
Enfin, en considérant 2
(X - Xk + Bk), on obtient un polynôme
Pk de IK[X] tel que :
Vx E [a; b],
n- 1
c) En notant P = f (a)+ L µ,k Pk, qui est un polynôme de
k=O
IK[X] , on a, d'après a) et b) :
Vx E [a; b],
ê
ê
lf (x ) - P(x ) I ~ - + - = e.
2
2
a) Puisque f est continue sur [a; b], f est uniformément sur
[a ; b] (théorème de Heine). Il existe donc a > 0 tel que :
V(x,y) E (0; 1] 2 ,
(1x - YI ~ a==} lf(x) - f (y)I ~ ê).
Soit (x,y) E [O; 1] 2 .
•Si lx - Y I~ a, alors lf(x) - f(y) I ~ e .
•Si lx - YI > a, alors:
lf(x) - f(y) I ~ lf(x) I + lf(y) I ~ 2llfl loo
,,::: 211 f lloo ( _ )2
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2
X
y
a
b) • VÀ E IR , V f,g E E , Vn EN , Vx E [0; l],
Bn (Àf + g) (x) = ta c~ (v (~)+g (~) )xk(I -x)n-k
= ÀBnCf)(x) + Bn(g)(x).
• Sif ~ 0 , alors:
Vn E N, Vx E [0; l],
B,,(f)(x) = t C~J(~)xk(l - x)n - k ~ O.
k=O
c) Cf. exercice 5.2.21 :
fi
• B,,(eo )(x ) = L: C~xk (l -x)n- k
k=O
=(x+c1-x))" =l= eo(x)
Il
k k k
Il k
• Bn(e 1)(x) = L::C,, - x (l - x) - =x =e 1(x)
k=O n
~ Ck (k)2 k
k
• B,,(e2)(x) = L
n ~ X (1 - x )
11
-
k=0
1 (
)
n-l
l
= - x (n - l)x + 1 = - - e2(x) + - e l (x).
n
n
n
Ainsi : Bn (eo) = eo, Bn (e1) = e 1,
x(l - x)
1
ll B,,(e2) - e2 lloo = Sup
= - ----+O.
x E[O: l]
n
4n 11 00
d) D'après a), on a, pour tout (x,y) de [O; 1] 2 :
lf(x) - f(y)eo(x) I = lf(x) - f(y) I
_, . , + 2ll f lloo ( _ )2
"""'- ê
2
X
y
a
= uo(x) +
2 11
~~l oo (e2(x) - 2ye1 (x) + y
2 eo(x) ) ,
c'est-à-dire:
211 f lloo
2
If - f (y)eo l ~ u o + 2 (e2 - 2ye1 +y eo).
a
Soit n E N. D'après b), on a, pour tout (u, v) de E 2 :
u ~ v ~ v - u ~ 0 ==} B 11 (v - u) ~ 0
~ B 11 (v) - B 11 (u) ~ 0 ~ B 11 (u) ~ Bn(v) ,
et donc B 11 est croissante.
Puis, pour tout (u ,v) de E 2 :
l u i ~ v ~ -u ~ v ~ u ==} -B 11 ( u) ~ Bn(v) ~ B 11 (u )
~ IBn(u)I ~ Bn(v).
On déduit, pour tout n de N et y de [O; 1] :
IBnCf) - f(y)eo l = IBnCf) - f(y)Bn(eo) I
2l lf lloo (
2
)
::;;; c Bn (eo )+ ~ B,, (e2) - 2yB,,(e 1)+y Bn (eo),