"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
En remplaçant y par 1 - x, on a :
'
ck
L k nxk( l -x)
11 - k=nx.
k=O
En dérivant à nouveau par rapport à x puis en multipliant
par X :
11
k
V(x,y) E IR 2 , L k
2 C,,xky
11 - k
k=O
= nx ( (x + y)
11
-
1 + (n - l )x(x + y)
11
-
2 )
= nx(nx + y)(x + y)
11
-
2 .
3) En remplaçant y par l - x :
\;/x E IR,
t ec:xk( l -x)"-k = nx ( (n - l )x + 1).
k=O
On déduit :
Il
k (
k)2
{; C,, x - ;; xk(l - x)"-k
2x
l
x(l - x)
= x
2 - -
nx + 2
nx((n - l )x + 1) =
.
n
n
n
1
4) Comme :
Vx E [O; 1], x(l - x):,:; 4 , on obtie nt :
L c: lf(x) - ! ( ~) 1 xk(l - x)n - k:,:; ll f~oo .
kEE 2
n
2T/ n
e) Les deux points précédents donne nt :
'
f(x) - Bn(f)(x) I ~ ~ + ll f~oo .
2
2T/ n
Comme l I f~
00
~ 0 (car T/ > 0 est fixé), il existe N E N
2T/ n
noo
tel que:
'
Vs > 0, 3N E N, '
c'est-à-di re : 8 11 (f) ~ f sur [0; l] .
noo
f) Passo n s a u cas gé néra l : (a,b) E IR 2 , a < b. Soit
f: [a; b ] ---+ IK continue.
Considérons g : [O; l ] ---+ IK , qui est continue .
Xt---+ f (a+ (b - a)x)
D'après 1 ), la suite (s1 1 (g > ) de polynômes (à coeffi cients
nEN
dans IK) converge uniformément vers g sur [O; 1], c'est-à-dire :
ll Bn(g)- glloo ~O.
noo
Notons, pour n EN, P 11 : [a; b] ---+ IK l'application polynomiale définie par :
Vt E [a; b],
(
t -a)
P,,(t) = Bn(g) - - .
b - a
Comme [0; l] ---+ [a; b] et [a; b] ---+ [0; l] sont bijectives,
xt---+a+(b-a)x
lt---+ t -a
b-a
réciproques l'une de l'autre, on a, pour tout n de N :
ll P,, - .flloo = Sup IP,, (t) - f(t) I
/E[a:b]
= Sup IBn(g)(x) - g(x)I = ll B,,(g) - gll"'"
x e[O: I]
et donc llP,, -flloo ~O.
noo
Ainsi, ( P,,)nEN converge unifo rmément vers f sur [a; b] .
a) Puisque f est continue sur [a; b] , f est uniformément continue sur [a; b ], d'après le théorème de Heine.
Tl existe donc T/ > 0 tel que :
V(x' ,x") E [a; b ] 2 ,
( 1x' - x"I ~ T/ ===} lf(x') - f(x") I ~ ~).
Notons n = E ( b: a) + l et, pour tout k de {0, ... ,n},
b-a
Xk = a + k - - et gk :
[a; b] ---+ C
n
{ 0 six~ Xk
Xt---+
X - Xk Si X > Xk·
Notons continue, définie par :
\;/k E {O, ... ,n - 1}, \;/x E [xk; Xk+ I ],
X-Xk
Xk+ (-X
- - - f(xk + I ) +
f(xk) ,
Xk+ I - Xk
Xk+ l - Xk
obtenue en joignant successivement, par des segments, les points
(xk,f(xk)), k E {0, ... ,n}.
Montrons (cf. aussi 2.3.3 Prop. p. 128) :
'
l
x E [xk;xk+ 1L et on a:
+ Xk+ l - x lf(Xk) - f(x) I
Xk+ l - Xk
~ X - Xk
~ + Xk+ l - X ~ = ~.
Xk+ I - Xk 2
Xk+ l - Xk 2
2
f(xk+ I ) - f(xk)
. .
Notons, pour k E {0, ... ,n }, Àk =
; amst :
Xk+ ] - Xk
\;/k E {O, ... ,n}, \;/x E [xk; Xk+ il •
'..o(x - xo).
Il existe (µO •· .. ,µ,,) E ocn+ l unique tel que :
µo = >..o, µo + µ 1 = >.. 1 , ... , µo + ... + µn = Àn.
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0
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En remplaçant y par 1 - x, on a :
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11 - k=nx.
k=O
En dérivant à nouveau par rapport à x puis en multipliant
par X :
11
k
V(x,y) E IR 2 , L k
2 C,,xky
11 - k
k=O
= nx ( (x + y)
11
-
1 + (n - l )x(x + y)
11
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2 )
= nx(nx + y)(x + y)
11
-
2 .
3) En remplaçant y par l - x :
\;/x E IR,
t ec:xk( l -x)"-k = nx ( (n - l )x + 1).
k=O
On déduit :
Il
k (
k)2
{; C,, x - ;; xk(l - x)"-k
2x
l
x(l - x)
= x
2 - -
nx + 2
nx((n - l )x + 1) =
.
n
n
n
1
4) Comme :
Vx E [O; 1], x(l - x):,:; 4 , on obtie nt :
L c: lf(x) - ! ( ~) 1 xk(l - x)n - k:,:; ll f~oo .
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n
2T/ n
e) Les deux points précédents donne nt :
'
f(x) - Bn(f)(x) I ~ ~ + ll f~oo .
2
2T/ n
Comme l I f~
00
~ 0 (car T/ > 0 est fixé), il existe N E N
2T/ n
noo
tel que:
'
Vs > 0, 3N E N, '
c'est-à-di re : 8 11 (f) ~ f sur [0; l] .
noo
f) Passo n s a u cas gé néra l : (a,b) E IR 2 , a < b. Soit
f: [a; b ] ---+ IK continue.
Considérons g : [O; l ] ---+ IK , qui est continue .
Xt---+ f (a+ (b - a)x)
D'après 1 ), la suite (s1 1 (g > ) de polynômes (à coeffi cients
nEN
dans IK) converge uniformément vers g sur [O; 1], c'est-à-dire :
ll Bn(g)- glloo ~O.
noo
Notons, pour n EN, P 11 : [a; b] ---+ IK l'application polynomiale définie par :
Vt E [a; b],
(
t -a)
P,,(t) = Bn(g) - - .
b - a
Comme [0; l] ---+ [a; b] et [a; b] ---+ [0; l] sont bijectives,
xt---+a+(b-a)x
lt---+ t -a
b-a
réciproques l'une de l'autre, on a, pour tout n de N :
ll P,, - .flloo = Sup IP,, (t) - f(t) I
/E[a:b]
= Sup IBn(g)(x) - g(x)I = ll B,,(g) - gll"'"
x e[O: I]
et donc llP,, -flloo ~O.
noo
Ainsi, ( P,,)nEN converge unifo rmément vers f sur [a; b] .
a) Puisque f est continue sur [a; b] , f est uniformément continue sur [a; b ], d'après le théorème de Heine.
Tl existe donc T/ > 0 tel que :
V(x' ,x") E [a; b ] 2 ,
( 1x' - x"I ~ T/ ===} lf(x') - f(x") I ~ ~).
Notons n = E ( b: a) + l et, pour tout k de {0, ... ,n},
b-a
Xk = a + k - - et gk :
[a; b] ---+ C
n
{ 0 six~ Xk
Xt---+
X - Xk Si X > Xk·
Notons continue, définie par :
\;/k E {O, ... ,n - 1}, \;/x E [xk; Xk+ I ],
X-Xk
Xk+ (-X
- - - f(xk + I ) +
f(xk) ,
Xk+ I - Xk
Xk+ l - Xk
obtenue en joignant successivement, par des segments, les points
(xk,f(xk)), k E {0, ... ,n}.
Montrons (cf. aussi 2.3.3 Prop. p. 128) :
'
l
x E [xk;xk+ 1L et on a:
+ Xk+ l - x lf(Xk) - f(x) I
Xk+ l - Xk
~ X - Xk
~ + Xk+ l - X ~ = ~.
Xk+ I - Xk 2
Xk+ l - Xk 2
2
f(xk+ I ) - f(xk)
. .
Notons, pour k E {0, ... ,n }, Àk =
; amst :
Xk+ ] - Xk
\;/k E {O, ... ,n}, \;/x E [xk; Xk+ il •
'
Il existe (µO •· .. ,µ,,) E ocn+ l unique tel que :
µo = >..o, µo + µ 1 = >.. 1 , ... , µo + ... + µn = Àn.
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