"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
a) Soit x E [O; 1]. Procédons à une récurrence sur n. La propriété est triviale pour n =O. Supposons-la vraie pour un n de
N .Ona:
Jx- P 11 +1(x) = Jx- P11 (x)- ~(x -(P11 (x))
2
)
= ( Jx - P11 (x)) (1 -~(Jx + Pn (x))).
D'une part, comme P 11 (x) ~ ,,/X, on a :
et donc : 0 ~ Jx- P 11 +1(x).
2,,/X
D'autre part, comme 0 ~ Jx - P,, (x) ~
2
Jx
+n X
et que 1 - ~ ( Jx + P,, (x)) ~ 1 - ~ Jx
(car P,,(x) ~ 0) , on a:
Jx - Pn+I (x) ~ 2 ~::rx- ( 1 - ~Jx)
2,,/X
(2 + n,,/X + ,,/X)(2 - ,,/X)
= 2 + (n + 1),,/X
2(2 + n,,/X)
2,,/X
2(2 + n,,/X) - (n + l)x
= 2 + (n + 1),,/X
2(2 + n,,/X)
2,,/X
~ 2 + (n + l),,/X.
b) D'après a): Vn E N* , Vx E [0; 1],
2,,/X
2
0 ~ ,,/X - Pn (x ) ~
Jx ~ - ,
2+n x
n
c .u.
donc P 11 ------+ p sur [0; 1].
noo
c) Soientn E N*, t E [-1; 1]; notonsx = ltl E [O; 1].
2
D'après a): 0 ~ ,,/X - P,,(x) ~ - ,
n
donc : 0 ~ Jx + P,, (x) ~ 2,,/X ~ 2.
On déduit:
l
c.u .
et donc : Q,, ------+ noo
a) Soit E > 0 fixé. Puisque f est continue sur [O; 1] , f est unifom1ément continue sur [O; 1] , d'après le théorème de Heine ;
il existe donc rJ > 0 tel que :
V(u , v) E [0; 1] 2 ,
( 1u - vl ~ rJ ===> l f(u) - f(v) I ~ ~).
b) Soient n E N, x E [0; 1]. On a, puisque
" c k
(
),,
L
,, xk (l - x )
11 -k = x + (1 -x) = 1
k=O
ltCx) - B11 Cf)(x) I
1
11
k (
(k
1
= ~C 11 f(x)-f ;;))xk(l -x)"- k
~ te: l t(x)-t(~) l xk(l -x)" - k.
k=O
c) Pour tout k de E1 , on a lx - ~ 1 ~ rJ , donc
lf(x) - f(~) I ~ ~· d'où:
L:: c: lt
d) 1) On a:
L c: lf(x) - f (~) 1 x k(l - x)"-k
kEEz
~ 2ll f lloo L c:xk(I -x)"-k
keE2
~ 21 1/lloo ~ c k ( - ~)
2
x k(l - x)"- k
.....,
2
L.., 11 x
n
'
rJ
k = O
puisque, pour tout k de Ez , rJ ~ lx - ~ I ·
Soit n E N. On a:
Il
k (
k)2 k n-k
L C,, x - ;; x (1 - x )
k=O
- 2x tkc:xk(l - x)"-k
n k= O
1 n
k
+1 Lk2Cnxk(l -x)n- k.
n k=O
n ck
2) Partons de: 'v' (x,y) E JR. 2 , L
11
xky n- k = (x + y)".
k=O
On obtient, en dérivant par rapport à x, puis en multipliant
par x:
2
n
c k
1
V(x ,y)E IR, Lk 11 xkyn- k=nx(x+y)"- .
k=O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
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>0.
0
u
a) Soit x E [O; 1]. Procédons à une récurrence sur n. La propriété est triviale pour n =O. Supposons-la vraie pour un n de
N .Ona:
Jx- P 11 +1(x) = Jx- P11 (x)- ~(x -(P11 (x))
2
)
= ( Jx - P11 (x)) (1 -~(Jx + Pn (x))).
D'une part, comme P 11 (x) ~ ,,/X, on a :
et donc : 0 ~ Jx- P 11 +1(x).
2,,/X
D'autre part, comme 0 ~ Jx - P,, (x) ~
2
Jx
+n X
et que 1 - ~ ( Jx + P,, (x)) ~ 1 - ~ Jx
(car P,,(x) ~ 0) , on a:
Jx - Pn+I (x) ~ 2 ~::rx- ( 1 - ~Jx)
2,,/X
(2 + n,,/X + ,,/X)(2 - ,,/X)
= 2 + (n + 1),,/X
2(2 + n,,/X)
2,,/X
2(2 + n,,/X) - (n + l)x
= 2 + (n + 1),,/X
2(2 + n,,/X)
2,,/X
~ 2 + (n + l),,/X.
b) D'après a): Vn E N* , Vx E [0; 1],
2,,/X
2
0 ~ ,,/X - Pn (x ) ~
Jx ~ - ,
2+n x
n
c .u.
donc P 11 ------+ p sur [0; 1].
noo
c) Soientn E N*, t E [-1; 1]; notonsx = ltl E [O; 1].
2
D'après a): 0 ~ ,,/X - P,,(x) ~ - ,
n
donc : 0 ~ Jx + P,, (x) ~ 2,,/X ~ 2.
On déduit:
l
c.u .
et donc : Q,, ------+ noo
a) Soit E > 0 fixé. Puisque f est continue sur [O; 1] , f est unifom1ément continue sur [O; 1] , d'après le théorème de Heine ;
il existe donc rJ > 0 tel que :
V(u , v) E [0; 1] 2 ,
( 1u - vl ~ rJ ===> l f(u) - f(v) I ~ ~).
b) Soient n E N, x E [0; 1]. On a, puisque
" c k
(
),,
L
,, xk (l - x )
11 -k = x + (1 -x) = 1
k=O
ltCx) - B11 Cf)(x) I
1
11
k (
(k
1
= ~C 11 f(x)-f ;;))xk(l -x)"- k
~ te: l t(x)-t(~) l xk(l -x)" - k.
k=O
c) Pour tout k de E1 , on a lx - ~ 1 ~ rJ , donc
lf(x) - f(~) I ~ ~· d'où:
L:: c: lt
d) 1) On a:
L c: lf(x) - f (~) 1 x k(l - x)"-k
kEEz
~ 2ll f lloo L c:xk(I -x)"-k
keE2
~ 21 1/lloo ~ c k ( - ~)
2
x k(l - x)"- k
.....,
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L.., 11 x
n
'
rJ
k = O
puisque, pour tout k de Ez , rJ ~ lx - ~ I ·
Soit n E N. On a:
Il
k (
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L C,, x - ;; x (1 - x )
k=O
- 2x tkc:xk(l - x)"-k
n k= O
1 n
k
+1 Lk2Cnxk(l -x)n- k.
n k=O
n ck
2) Partons de: 'v' (x,y) E JR. 2 , L
11
xky n- k = (x + y)".
k=O
On obtient, en dérivant par rapport à x, puis en multipliant
par x:
2
n
c k
1
V(x ,y)E IR, Lk 11 xkyn- k=nx(x+y)"- .
k=O