"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
-
0
• Fr(P) = P - P = E.
0
Réponse: P = E , p = 0, Fr(P) = E.
D'après le 1er théorème de Weierstrass, il existe une suite
(A,, ) 11 ;;,Q de polynômes à coefficients complexes telle que :
C.U.
A,, -----+ f .
1100
Notons, pour tout j de { 1, ... , N},
Lj = Jl
1
Jl (X - ak), polynômes d'interpo(aj - ak) k b <:N
l ~k ~N
k_,,, j
k"'j
lation de Lagrange (cf. Algèbre MPSI, 5 .3.1 Exemple), et, pour
tout n de N :
P11 =A,,+ t (1 caj) -A11(aj) )Lj.
1= 1
Il est clair que, pour tout n de N, P,, est un polynôme et que :
\ln EN, Vi E {l , ... ,N},
P,,(a;) = A11(a;) +(!Ca;) - A11(a;)) = f(a;).
Enfin, pour tout n de N :
ll P11 - fll oo
N
~ llA11 - f lloo + L lf (aj) - A11(aj)l llLj lloo
j= l
~ (1 + t, ll L,;lloo )i1A11 - f lloo.
c.u.
et donc P,, -----+ f.
noo
Soit n E N. D'après le 1er théorème de Weierstrass appliqué
5
à x ~ f (x) + - - 1
, il ex iste un polynôme P,, à coefficients
411+
réels tel que :
'lx E [a; b], 1 P,,(x) - ( f(x) + 411 ~ 1 ) 1 ~ 411 ~ 1 .
Alors:
•Vn EN, VxE[a;b],
c.u .
donc P 11 -----+ f
1100
•Vn EN, VxE[a;b],
2
2
f(x) + 4n+l ~ P,,(x) ~ f(x) + 4n'
donc : Vn EN, \lx E [a; b],
2
Pn+l (x) ~ f(x) + - - 1
~ P,,(x) ,
4n+
et ainsi, (P 11 ) 11 ;;,Q est décroissante.
D'après 1e1er théorème de Weierstrass, il existe une suite (B,,) n ;;,O
c.u.
de polynômes à coefficients dans C telle que B,, -----+ f'.
noo
Notons, pour tout n de N, P,, le polynôme défini par :
P~ = B,, et P,,(a) = f(a).
Alors:
•pour tout n de N, P 11 est de classe C 1 sur [a; b]
c.u.
• P~ -----+ f' sur [a; b]
1100
• P,,(a)-----+ f(a).
1100
D'après le théorème de primitivation pour les suites de
fonctions , on déduit qu'il existe une ap plication
g : [a; b] ----+ C te lle que :
C.U.
• P,, -----+ g sur [a; b]
1100
• g est de classe c 1 sur [a; b]
• g' = f'.
Comme g' = f' et que g(a) = lim P,, (a) = f (a), on conclut
1100
g = f.
c.u.
c.u.
Finalement : P 11 -----+ f et P~ -----+ f'.
1100
noo
Les applications N1 et N2 sont bien des normes, la condition
(N1 (P) = 0 ===} P = 0) étant réalisée car, si P s'annule sur
/ 1, alors le polynôme P s'annule en une infinité de points, donc
p =O.
Considérons l'application f : [-2; 2] ----+ lR coïncidant avec
A sur [-2; - 1], avec B sur [l ; 2], et, sur [- 1; l], affine joig nant les points (- l ,A(- 1)) et (l,B(l)).
Il est clair que f est continue sur [ -2; 2].
D 'après le 1er théorème de Weierstrass, il existe une suite
c.u.
(P,, ) 11 ;,Q de polynômes à coefficients réels telle que P,, -----+ f
r
1100
sur [-2;2].
y= B (x)
'
y
y = B (x)
/
" "
/
'--. __ ,....,... .
/
, y=A (x)
--:-;r: ___ ,/
2
y =A Cx)
Comme:
\ln EN, N1 (P 11 - A)= Sup IP 11 (x) - A(x)I
XE /1
X
= Sup IP,,(x) - f(x) I ~ Sup IP11(x) - f(x) I,
xE/1
xe[- 2:2]
on a: P 11 -----+A dans (E,N1).
noo
De même: P,, -----+ B dans (E , Nz) .
11 00
1 667
0
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• Fr(P) = P - P = E.
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Réponse: P = E , p = 0, Fr(P) = E.
D'après le 1er théorème de Weierstrass, il existe une suite
(A,, ) 11 ;;,Q de polynômes à coefficients complexes telle que :
C.U.
A,, -----+ f .
1100
Notons, pour tout j de { 1, ... , N},
Lj = Jl
1
Jl (X - ak), polynômes d'interpo(aj - ak) k b <:N
l ~k ~N
k_,,, j
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lation de Lagrange (cf. Algèbre MPSI, 5 .3.1 Exemple), et, pour
tout n de N :
P11 =A,,+ t (1 caj) -A11(aj) )Lj.
1= 1
Il est clair que, pour tout n de N, P,, est un polynôme et que :
\ln EN, Vi E {l , ... ,N},
P,,(a;) = A11(a;) +(!Ca;) - A11(a;)) = f(a;).
Enfin, pour tout n de N :
ll P11 - fll oo
N
~ llA11 - f lloo + L lf (aj) - A11(aj)l llLj lloo
j= l
~ (1 + t, ll L,;lloo )i1A11 - f lloo.
c.u.
et donc P,, -----+ f.
noo
Soit n E N. D'après le 1er théorème de Weierstrass appliqué
5
à x ~ f (x) + - - 1
, il ex iste un polynôme P,, à coefficients
411+
réels tel que :
'lx E [a; b], 1 P,,(x) - ( f(x) + 411 ~ 1 ) 1 ~ 411 ~ 1 .
Alors:
•Vn EN, VxE[a;b],
c.u .
donc P 11 -----+ f
1100
•Vn EN, VxE[a;b],
2
2
f(x) + 4n+l ~ P,,(x) ~ f(x) + 4n'
donc : Vn EN, \lx E [a; b],
2
Pn+l (x) ~ f(x) + - - 1
~ P,,(x) ,
4n+
et ainsi, (P 11 ) 11 ;;,Q est décroissante.
D'après 1e1er théorème de Weierstrass, il existe une suite (B,,) n ;;,O
c.u.
de polynômes à coefficients dans C telle que B,, -----+ f'.
noo
Notons, pour tout n de N, P,, le polynôme défini par :
P~ = B,, et P,,(a) = f(a).
Alors:
•pour tout n de N, P 11 est de classe C 1 sur [a; b]
c.u.
• P~ -----+ f' sur [a; b]
1100
• P,,(a)-----+ f(a).
1100
D'après le théorème de primitivation pour les suites de
fonctions , on déduit qu'il existe une ap plication
g : [a; b] ----+ C te lle que :
C.U.
• P,, -----+ g sur [a; b]
1100
• g est de classe c 1 sur [a; b]
• g' = f'.
Comme g' = f' et que g(a) = lim P,, (a) = f (a), on conclut
1100
g = f.
c.u.
c.u.
Finalement : P 11 -----+ f et P~ -----+ f'.
1100
noo
Les applications N1 et N2 sont bien des normes, la condition
(N1 (P) = 0 ===} P = 0) étant réalisée car, si P s'annule sur
/ 1, alors le polynôme P s'annule en une infinité de points, donc
p =O.
Considérons l'application f : [-2; 2] ----+ lR coïncidant avec
A sur [-2; - 1], avec B sur [l ; 2], et, sur [- 1; l], affine joig nant les points (- l ,A(- 1)) et (l,B(l)).
Il est clair que f est continue sur [ -2; 2].
D 'après le 1er théorème de Weierstrass, il existe une suite
c.u.
(P,, ) 11 ;,Q de polynômes à coefficients réels telle que P,, -----+ f
r
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sur [-2;2].
y= B (x)
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y = B (x)
/
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'--. __ ,....,... .
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, y=A (x)
--:-;r: ___ ,/
2
y =A Cx)
Comme:
\ln EN, N1 (P 11 - A)= Sup IP 11 (x) - A(x)I
XE /1
X
= Sup IP,,(x) - f(x) I ~ Sup IP11(x) - f(x) I,
xE/1
xe[- 2:2]
on a: P 11 -----+A dans (E,N1).
noo
De même: P,, -----+ B dans (E , Nz) .
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