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D'après le 1er théorème de Weierstrass, il existe un polynôme
A à coefficients réels tel que :
Vx E [a; b] , IA(x) - f(x) I :::;; ~E
E
En notant P = A - 2 , Q = A+ 2 , qui sont des polynômes à
coefficients réels, on a :
Vx E [a; b], {
P (x) :::;; f (x) :::;; Q(x)
1 Q(x) - P(x) I :::;; E .
a) Immédiat, puisque:
Vn E N, Vx E [- a; a],
i ' J n(X) - f(x) I = l fn(-x) - f(-x) I.
b) D'après le 1er théorème de Weierstrass, il existe une suite
(An )n ~O de polynômes à coefficients complexes te lle que
C.V .
V
C.V. v
An ------.. f. D'après a), An ------.. A, donc, par combinaison
noo
noo
linéaire à coefficients fixés :
1
V
1
V
2 (An +An) ---;;;;: 2 (f + f),
1
V
1
V
-(An - An)------;. -(f - f).
2
noo 2
1
V
• Sif est paire, en notant, pour n EN, Pn = 2(A 11 +A n) , Pn
est un polynôme de C[X], pair, et
C. V. 1
V
P11 ------.. -
2
(f + f) = f.
1100
1
V
•De même, si f est impaire, en notant P 11 = 2 (An - A 11), Pn
C.V. l
V
est un polynôme impair, et Pn ------.. -(f - f) = f.
noo 2
Puisque l'application g : [O; l] ~ 1
y t---+ f (y k)
1er théorème de Weierstrass, il existe une suite (Pn)n ~ O de
polynômes à coefficients complexes telle que :
C.V.
P11 ------.. g.
noo
En notant, pour n E N, An = Pn (Xk), qui est un polynôme à
coefficients complexes, on a :
Vn E N, Vx E [0; l],
IAn(X) - f(x) I = Pn(X ) - g(x ) , _, : ; ; ll Pn - glloo,
1
k
k 1
C.V.
et donc : An ------.. f.
noo
n- l
Notons, pour n E N, Pn = fl (X+ k).
k=O
SoitNE N.
Comme:
'in EN, deg(Pn) = n,
(Pn)O~n ~ N est une base de Puisque: Vn E {0, ... ,N }, lb P 11 (x)f(x) dx = 0,
il en résulte, par linéarité :
'VP E et en particulier: Vn E {0, ... ,N}, lb xn f(x) dx =O.
On obtient ainsi: Vn E N, lb xnf(x) dx = 0 ,
a
et donc f = 0, cf. 5.2.2 Cor. p. 308.
Les implications 1 ===::} 2, 1 ===}3, 1 ===::} 4 sont évidentes.
2 ===::} 1 : Cf. 5.2.2 Cor. p. 308.
3 ===} 1 :
Supposons qu'il existe N E N tel que:
'in E N, (n ~ N ===::} fol xnf(x) dx = o).
En notant g : [0; l] ~ X t---+ XN f(x)
'Vp E N, Io
1
xP g(x) dx = fo' xn+p f(x) dx = 0,
donc (cf. 5 .2.2 Cor.): g =O.
Ainsi : 'Vx E]O; l], f (x) = 0,
puis, par continuité de f en 0, f = O.
4===}1:
Supposons qu'il existe k E N* tel que:
Vn EN, fol xkn f(x) dx =O.
On obtient, par le changement de variable t = xk :
'in E N*, fo' t n- l (ri f(tt))dt =O.
En notant h : [0; l] ~ 1
1
lt---+/ k f(t "li )
'VnE N, fo
1
tnh(t) dt=0 ,
donc (cf. 5.2.2 Cor.): h =O .
1
Ainsi: Vt E]O; l], f(t ïi ) = 0 ,
puis : 'Vx E]O; l], f (x) = 0 ,
et enfin, par continuité de f en 0 : f = O.
• P = E, d'après le 1er théorème de Weierstrass.
0
• P = 0, car Pest un sev de E et P =/= E (cf. aussi exercice
1.1.30 p. 29).