-0
0
c
:J
0
ff'l
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;:::
>0..
0
u
Puisque PN est continue sur l'intervalle
[
1
rr ;
1
rr ] , le théorè me des valeurs intermé2krr + - 2krr - -
2
2
diaires mo ntre qu'il existe
akE ]
1
rr;
1
rr [telquePN(ak)=O.
2krr + - 2krr - -
2
2
Comme : Vk E N*,
1
1
0 < ak+ 1 <
rr <
rr < a k,
2(k + l)rr - 2
2krr + 2
PN admet une infinité de zéros, donc (puisque PN est un polynôme), PN = 0 , contradiction.
Raisonnons par l'absurde: supposons qu'il existe k E N tel
que:
Vn EN, deg(Pn) ~ k.
Le IR -ev IRk[X] est de dimensio n finie, et il est immédiat que
les applications N : P 1--+ Sup IP (x ) I
xE[- 1:0]
et N': P 1--+ N(P) + fo
1
IP(x) I dx sont des normes sur
IRk[X], donc sont équivalentes.
On a alo rs:
Pn----+ 0 sur [- 1; 0] ~ N(P,,)----+ 0
(
c. u.
)
noo
noo
===} N ' ( Pn) ----+ 0 ===} {
1
1 P,, (x) ldx ----+ 0
noo
Jo
noo
===} [
1
Pn (x )dx ----+ 0 , contradiction.
Jo
noo
Le IR -ev IRk[X] est dimension finie, et il est immédiat que les
applications N: P 1--+ Sup IP (x) I
x E[a:b]
et N
1 :P 1--+ Sup IP(x)I
xe[c:d]
sont des normes sur IRk[X] (en supposant c < d, le cas c = d
étant d'étude triviale), donc sont équivalentes. Supposons qu'il
existe f : [a; b] --+ IR telle que
c.u.
Pn ----+ f sur [a ; b ] ; comme chaque Pn e st bornée,
noo
f est bornée, et on a : Il Pn 1 [a;b) - f Il
00
--;;;;: 0 ·
Il en résulte que (Pn) 11 ;;,0 est de Cauchy dans (IR.k[X] ,N],
puisque : V(p ,q) E N 2 ,
N(Pp - Pq) = Il Ppl [a ,b] - Pql [a :b ] lloo
~ llPr l[a:b) - 1 1100 + ll t - Pq l[a; b) lloo ·
Puisque IRk [X] est de dimension finie, (IRk [X], N ) est complet.
Il existe donc Q E IRk[X] tel que P,, ----+ Q dans (!Rk[X], N).
noo
Comme N ~ N ', il en résulte Pn ----+ Q dans (JR.k[X] , N ' ) ,
noo
c. u.
c'est-à-dire P,, ----+ Q sur [c; d ].
1100
Pourtoutn de N, il existe (ak,n )Q,,;;b;;N E cN+ I unique tel que
N
P,, = L ak ,nXk.
k=O
Il est évident qu'on peut trouver N + 1 éléments xo , . . . ,X N de
[a; b] deux à deux distincts.
Pour tout n de N, les coefficients ak ,n (0 ~ k ~ N) de P,, sont
solutions d'un système linéaire de C ramer :
N
Vi E {0, ... , N),
L ak, 11 x f = P 11 (x;),
k=O
d'où: Vk E {0,. .. ,N),
Pn(xo)
1
llk,n = - - - - - - - - - - -
X N
XQ
0
1 X N
C.S.
Co mm e P,, ----+ f , o n a , pour tout i de {O,. . . , N} ,
1100
Pn (x;) ----+ f (x; ) , d'où, par continuité du déterminant :
1100
Vk E {0,. . ., N},
l
l
f(xo)
ak n ----+ - - - - - - - - - - - , noté a k .
'
11 00
1
X N
0
l
N
Notons P = L akXk.
k=O
Puisque le IR -ev !RN [X] est de dimension finie, les normes
N 00 : P 1--+ Sup IP(x)I
x E[a: b]
N
N
et N1: P = L akxk 1--+ L lakl , sur lRN [X] sont équik=O
k=O
val entes.
Comme P,,----+ P dans (IRN[X],N1) ,
1100
o n déduit P 11 ----+ P dans (lRN [X],N 00 ) , c'est-à-dire
1100
c.u.
P,,----+ P sur [a ; b].
1100
C.S.
Enfin, puisque P 11 ----+ f sur [a ; b], on conclut f = P.
noo
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0
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[
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2
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diaires mo ntre qu'il existe
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2krr + - 2krr - -
2
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Comme : Vk E N*,
1
1
0 < ak+ 1 <
rr <
rr < a k,
2(k + l)rr - 2
2krr + 2
PN admet une infinité de zéros, donc (puisque PN est un polynôme), PN = 0 , contradiction.
Raisonnons par l'absurde: supposons qu'il existe k E N tel
que:
Vn EN, deg(Pn) ~ k.
Le IR -ev IRk[X] est de dimensio n finie, et il est immédiat que
les applications N : P 1--+ Sup IP (x ) I
xE[- 1:0]
et N': P 1--+ N(P) + fo
1
IP(x) I dx sont des normes sur
IRk[X], donc sont équivalentes.
On a alo rs:
Pn----+ 0 sur [- 1; 0] ~ N(P,,)----+ 0
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c. u.
)
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===} N ' ( Pn) ----+ 0 ===} {
1
1 P,, (x) ldx ----+ 0
noo
Jo
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1
Pn (x )dx ----+ 0 , contradiction.
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Le IR -ev IRk[X] est dimension finie, et il est immédiat que les
applications N: P 1--+ Sup IP (x) I
x E[a:b]
et N
1 :P 1--+ Sup IP(x)I
xe[c:d]
sont des normes sur IRk[X] (en supposant c < d, le cas c = d
étant d'étude triviale), donc sont équivalentes. Supposons qu'il
existe f : [a; b] --+ IR telle que
c.u.
Pn ----+ f sur [a ; b ] ; comme chaque Pn e st bornée,
noo
f est bornée, et on a : Il Pn 1 [a;b) - f Il
00
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Il en résulte que (Pn) 11 ;;,0 est de Cauchy dans (IR.k[X] ,N],
puisque : V(p ,q) E N 2 ,
N(Pp - Pq) = Il Ppl [a ,b] - Pql [a :b ] lloo
~ llPr l[a:b) - 1 1100 + ll t - Pq l[a; b) lloo ·
Puisque IRk [X] est de dimension finie, (IRk [X], N ) est complet.
Il existe donc Q E IRk[X] tel que P,, ----+ Q dans (!Rk[X], N).
noo
Comme N ~ N ', il en résulte Pn ----+ Q dans (JR.k[X] , N ' ) ,
noo
c. u.
c'est-à-dire P,, ----+ Q sur [c; d ].
1100
Pourtoutn de N, il existe (ak,n )Q,,;;b;;N E cN+ I unique tel que
N
P,, = L ak ,nXk.
k=O
Il est évident qu'on peut trouver N + 1 éléments xo , . . . ,X N de
[a; b] deux à deux distincts.
Pour tout n de N, les coefficients ak ,n (0 ~ k ~ N) de P,, sont
solutions d'un système linéaire de C ramer :
N
Vi E {0, ... , N),
L ak, 11 x f = P 11 (x;),
k=O
d'où: Vk E {0,. .. ,N),
Pn(xo)
1
llk,n = - - - - - - - - - - -
X N
XQ
0
1 X N
C.S.
Co mm e P,, ----+ f , o n a , pour tout i de {O,. . . , N} ,
1100
Pn (x;) ----+ f (x; ) , d'où, par continuité du déterminant :
1100
Vk E {0,. . ., N},
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ak n ----+ - - - - - - - - - - - , noté a k .
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11 00
1
X N
0
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Notons P = L akXk.
k=O
Puisque le IR -ev !RN [X] est de dimension finie, les normes
N 00 : P 1--+ Sup IP(x)I
x E[a: b]
N
N
et N1: P = L akxk 1--+ L lakl , sur lRN [X] sont équik=O
k=O
val entes.
Comme P,,----+ P dans (IRN[X],N1) ,
1100
o n déduit P 11 ----+ P dans (lRN [X],N 00 ) , c'est-à-dire
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P,,----+ P sur [a ; b].
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C.S.
Enfin, puisque P 11 ----+ f sur [a ; b], on conclut f = P.
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