"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Remarques:
V
1) En appliquant le résultat précédent à f : u t-----+ f ( -u) , on
déduit:
f(t)e - ixt dt =
f(- u )è
11 du ~ O.
l
b
1-a
a
ll=- t - b
x-> +oo
Puis, par combinaisons linéaires :
l b f( t ) cos xt dt -----j> 0, l b .f(t)sin x tdt -----j> O.
a
x-++oo
a
X4'+oo
2) Si on suppose f de classe C 1 par morceaux sur [a; b] , une
intégration par parties fournit plus rapidement le résultat (cf.
Analyse MPSI, 6.4.4 Exemple 2)).
Soit ê > O. Puisque f est intégrable sur/, il existe un segment
J , inclus da ns l , tel que f l.fl ::::; e(où f désigne la
/ - }
1-J
somme de deux intégrales).
D'après l'exercice 5.2. l , il existe xo E]Ü; +oo[ tel que:
Vx E [xo; +oo[, li f(t)eix rdt l ::::; e.
On a alors, pour tout x de [xo ; +oo[ :
I f f(t)eixt dt l ::::; lf - J f(t)eixtdt l +li f(t)e ixt dtl
: : : : ; f lf(t) ldt + ê ::::; 2ê.
/ - }
Ceci prouve :
Vs > 0, 3xo E]O; +oo[ , Vx E [xo ; +oo[,
I f f(t)eixt dt l::::; 2s ,
c'est-à-dire: f f(t)eixidt ~ O.
/
x-> +oo
Remarque:
Par l'utilisation de u t-----+ f ( -u) , on déduit
f
f(t)e - ixt ~ 0 , puis, par combinaisons linéaires:
/
x->+oo
f
f(t) cosxt dt ~ 0 et f f(t)s in x t dt ~ O.
f
x->+oo
f
x->+oo
xn
Considérons, pour n E N, Pn = - .
n!
•Pour tout a de [0; +oo[, (Pn)n -çO converge uniformément sur
[-a; a ] vers 0 car:
Vn EN, Vx E [-a ; a],
an
et - -----j> O.
n! noo
an
IPn (x) I::::; - ,
n!
• Mais (Pn )n-çO ne converge pas uniformément vers 0 sur IR
car, pour tout n de N*, Pn - 0 n'est pas bornée sur IR .
Considérons, pour n EN, Pn = X 2 "(1 - X 2 ).
•Etudier les variations de P,, sur [ - 1; l] et déduire:
Sup IP,,(x) I = P,,(. rI_\
x E(-1 ; 1)
1/ ;;-+!)
(
n )n 1
l
= n + l n + l ::::; n + l ·
Ceci montre que (Pn)n -çO converge uniformément vers 0 sur
[- 1; l].
• Soit I un intervalle de IR contenant strictement [ - 1 ; 1 ] . Il existe
x E / tel que lx 1 > 1, et alors :
Pn(X ) = - x 2 " (x 2 - 1) -----j> - oo.
11 00
Ceci montre que (P,,)n-çO ne converge pas simplement sur 1,
donc ne converge pas uniformément sur /.
•Soit x E IR. On a:
Vn E N, Pn+1(x) = Pn(P(x) ) = P(P,,(x)).
Comme P,, + J (x) -----j> f(x), que P,, (x) -----j> f(x),
1100
noo
et que Pest continue au pointf(x) , on déduit:
f (x) = P (f (x)).
Le polynôme P - X (# 0) n'ayant qu'un nombre fini de zéros,
il en résulte que f ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
C.U.
• Puisque Pn -----j> f et que les Pn sont continues sur / ,
noo
f est continue sur / .
Le théorème des valeurs intermédiaires montre alors que f
est constante.
Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe une suite
( P 11 ) ,, -çO d'applications polynomiales convergeant uniformément
vers f sur ]O; 1 ].
JI existe alors N E N tel que :
Vx E]O; 1],
Soit k E N* . On a :
PN (
l rr) + l
2kn - -
2
et PN (
l
) - 1
2kn + ~
d'où:
1
IPN(x) - f(x) I ::::; -.
2
( PN - f) (
l rr )
2kn - -
2
(PN - f) (
l rr )
2krr + -
2
l
,,:::: -
"' 2
1
,,:::: -
"' 2
PN (
l rr ) ::::; - ~ < 0 < ~ ::::; PN ( l rr )
2kn - -
2kn + -
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V
1) En appliquant le résultat précédent à f : u t-----+ f ( -u) , on
déduit:
f(t)e - ixt dt =
f(- u )è
11 du ~ O.
l
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ll=- t - b
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Puis, par combinaisons linéaires :
l b f( t ) cos xt dt -----j> 0, l b .f(t)sin x tdt -----j> O.
a
x-++oo
a
X4'+oo
2) Si on suppose f de classe C 1 par morceaux sur [a; b] , une
intégration par parties fournit plus rapidement le résultat (cf.
Analyse MPSI, 6.4.4 Exemple 2)).
Soit ê > O. Puisque f est intégrable sur/, il existe un segment
J , inclus da ns l , tel que f l.fl ::::; e(où f désigne la
/ - }
1-J
somme de deux intégrales).
D'après l'exercice 5.2. l , il existe xo E]Ü; +oo[ tel que:
Vx E [xo; +oo[, li f(t)eix rdt l ::::; e.
On a alors, pour tout x de [xo ; +oo[ :
I f f(t)eixt dt l ::::; lf - J f(t)eixtdt l +li f(t)e ixt dtl
: : : : ; f lf(t) ldt + ê ::::; 2ê.
/ - }
Ceci prouve :
Vs > 0, 3xo E]O; +oo[ , Vx E [xo ; +oo[,
I f f(t)eixt dt l::::; 2s ,
c'est-à-dire: f f(t)eixidt ~ O.
/
x-> +oo
Remarque:
Par l'utilisation de u t-----+ f ( -u) , on déduit
f
f(t)e - ixt ~ 0 , puis, par combinaisons linéaires:
/
x->+oo
f
f(t) cosxt dt ~ 0 et f f(t)s in x t dt ~ O.
f
x->+oo
f
x->+oo
xn
Considérons, pour n E N, Pn = - .
n!
•Pour tout a de [0; +oo[, (Pn)n -çO converge uniformément sur
[-a; a ] vers 0 car:
Vn EN, Vx E [-a ; a],
an
et - -----j> O.
n! noo
an
IPn (x) I::::; - ,
n!
• Mais (Pn )n-çO ne converge pas uniformément vers 0 sur IR
car, pour tout n de N*, Pn - 0 n'est pas bornée sur IR .
Considérons, pour n EN, Pn = X 2 "(1 - X 2 ).
•Etudier les variations de P,, sur [ - 1; l] et déduire:
Sup IP,,(x) I = P,,(. rI_\
x E(-1 ; 1)
1/ ;;-+!)
(
n )n 1
l
= n + l n + l ::::; n + l ·
Ceci montre que (Pn)n -çO converge uniformément vers 0 sur
[- 1; l].
• Soit I un intervalle de IR contenant strictement [ - 1 ; 1 ] . Il existe
x E / tel que lx 1 > 1, et alors :
Pn(X ) = - x 2 " (x 2 - 1) -----j> - oo.
11 00
Ceci montre que (P,,)n-çO ne converge pas simplement sur 1,
donc ne converge pas uniformément sur /.
•Soit x E IR. On a:
Vn E N, Pn+1(x) = Pn(P(x) ) = P(P,,(x)).
Comme P,, + J (x) -----j> f(x), que P,, (x) -----j> f(x),
1100
noo
et que Pest continue au pointf(x) , on déduit:
f (x) = P (f (x)).
Le polynôme P - X (# 0) n'ayant qu'un nombre fini de zéros,
il en résulte que f ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
C.U.
• Puisque Pn -----j> f et que les Pn sont continues sur / ,
noo
f est continue sur / .
Le théorème des valeurs intermédiaires montre alors que f
est constante.
Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe une suite
( P 11 ) ,, -çO d'applications polynomiales convergeant uniformément
vers f sur ]O; 1 ].
JI existe alors N E N tel que :
Vx E]O; 1],
Soit k E N* . On a :
PN (
l rr) + l
2kn - -
2
et PN (
l
) - 1
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d'où:
1
IPN(x) - f(x) I ::::; -.
2
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l rr ) ::::; - ~ < 0 < ~ ::::; PN ( l rr )
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2
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