"'O
0
c
:J
0
(V')
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
donc la série L (in ( l + ~) - ~) converge, et :
n;d
ln x + yx + I: (1n(1 + ~) -~)= -ln r (x).
n= l
n
n
Considérons, pour n E N*, fn : [O; +oo[-----+ IR .
xr--+ ln(l +~)-~
Pour tout n de N*, f,, est de classe C 1 sur [O; +oo[ et :
' V x E (0; +oo[,
1
1
1
X
f, (x) = - - - - = - - - -
11
x+n
n
n(x+n)
Soit a E]O; +oo[. On a :
'Vn E N*, 'Vx E [0; a],
1
X
(1
lf11(x)I = n(x + n) ::;:; n2 ,
donc : 'Vn E N*, Il f~ 1 [O:a] lie' ° : : ; : ; : 2 .
Ceci montre que L f~ converge nom1al ement, donc uniforn;;, I
mément sur [O; a ] , pour tout a de ]O; +oo[.
Le théorème de dérivation pour les séries d'applications
+oo
permet de déduire que L fn est de classe C 1 sur ]O; +oo[ et
11=1
que:
'Vx E]Ü; +oo[,
(
+oo ) '
+oo
+oo
1
1
~ fn (x) = ?; f~(x) = - x ?; n(x +n)'
Mais aussi:
(
+oo ) '
1
r ' (x)
'Vx E]O; +oo[,
L f,, (x) = - - - y - - - .
ll=l
X
r(x)
On conclut:
1
+oo
1
'Vx E]Ü; +oo[, 'lf;(x) = - - - y +x L
.
x
11
= 1
n(x + n)
b) 1) En remplaçant x par 1 dans le résultat de a):
'lf;(l) = -1 -y+ I: (~ -_1_) =-y ,
n=l n
n+l
d'où, puisque r (l) = O! = 1, r ' (l) = 'l/;(l)r(l) =-y.
2) On sait (cf. 3.5.3 Prop. 3 p. 200) :
'Vx E]Ü; +oo[, r'(x) = fo+oo (lnt)tx-le1 dt,
d'où r ' (1) = fo+oo e1 (ln t) dt, puis la conclusion voulue.
Raisonnons par l'absurde ; supposons qu'il existe une extracc.s.
trice Πtelle que : fa(11) ----* 0.
1100
Alors :
• Pour tout n de N, (fa (ni) 2 est continue par morceaux et intégrable sur [O; 1]
2 c.s.
• Cf a(ni) ----* 0 , et x 1---+ 0 est continue par morceaux sur
noo
[0; l]
•Pour tout n de N, 1 Cfa(n)) 2
I ::;:; 1, et x 1---+ 1 est continue par
morceaux, ?: 0 , intégrable sur [0; l].
D'après le théorème de convergence dominée,
f' Cfa(n)) 2 ----* f' 0 =O.
lo
noo lo
Mais, pour tout n de N :
fo' ( !a(n)(x))2dx = fo' 1 - cos22a(n)x dx
1
1
= 2
- 2
sina(n) cosa(n),
d'où, puisque sin a(n) = fa(n)Cl)----* 0 et que
noo
( cos a (n ))
est bornée :
n ~O
l o
i
2
l
( fa(n)(x) ) dx ----* -,
O
noo 2
contradiction.
Soit s > O. D 'après le Th. 1 du § 5.2.1, il existe une
application en escalier é
11 f -
d'où : 'Vx E]O; +oo[,
ll
b
ixt 1 N- 1
leirn<+ l-eixa
a
k= O
X
X
où M = Max IÀkl ·
O~k ~ N
Puisque N est fixé, il existe x o E ]O; +oo[ tel que :
'Vx E [xo; +oo[,
2NM
--::;:; s.
X
On a alors, pour tout x de [xo; +oo[ :
1 1b f(t)e ixtdtl
: : ; : ; 1 1b (f(t) -
'Vs > 0, 3xo E]O; +oo[, 'Vx E [xo; +oo[,
1 1b f(t)eixtdtl ::;:; é,
c'est-à-dire:
l
b
.
f (t) e l XI dt - - - Ü.
a
x~+oo
1 663
0
c
:J
0
(V')
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
donc la série L (in ( l + ~) - ~) converge, et :
n;d
ln x + yx + I: (1n(1 + ~) -~)= -ln r (x).
n= l
n
n
Considérons, pour n E N*, fn : [O; +oo[-----+ IR .
xr--+ ln(l +~)-~
Pour tout n de N*, f,, est de classe C 1 sur [O; +oo[ et :
' V x E (0; +oo[,
1
1
1
X
f, (x) = - - - - = - - - -
11
x+n
n
n(x+n)
Soit a E]O; +oo[. On a :
'Vn E N*, 'Vx E [0; a],
1
X
(1
lf11(x)I = n(x + n) ::;:; n2 ,
donc : 'Vn E N*, Il f~ 1 [O:a] lie' ° : : ; : ; : 2 .
Ceci montre que L f~ converge nom1al ement, donc uniforn;;, I
mément sur [O; a ] , pour tout a de ]O; +oo[.
Le théorème de dérivation pour les séries d'applications
+oo
permet de déduire que L fn est de classe C 1 sur ]O; +oo[ et
11=1
que:
'Vx E]Ü; +oo[,
(
+oo ) '
+oo
+oo
1
1
~ fn (x) = ?; f~(x) = - x ?; n(x +n)'
Mais aussi:
(
+oo ) '
1
r ' (x)
'Vx E]O; +oo[,
L f,, (x) = - - - y - - - .
ll=l
X
r(x)
On conclut:
1
+oo
1
'Vx E]Ü; +oo[, 'lf;(x) = - - - y +x L
.
x
11
= 1
n(x + n)
b) 1) En remplaçant x par 1 dans le résultat de a):
'lf;(l) = -1 -y+ I: (~ -_1_) =-y ,
n=l n
n+l
d'où, puisque r (l) = O! = 1, r ' (l) = 'l/;(l)r(l) =-y.
2) On sait (cf. 3.5.3 Prop. 3 p. 200) :
'Vx E]Ü; +oo[, r'(x) = fo+oo (lnt)tx-le1 dt,
d'où r ' (1) = fo+oo e1 (ln t) dt, puis la conclusion voulue.
Raisonnons par l'absurde ; supposons qu'il existe une extracc.s.
trice Πtelle que : fa(11) ----* 0.
1100
Alors :
• Pour tout n de N, (fa (ni) 2 est continue par morceaux et intégrable sur [O; 1]
2 c.s.
• Cf a(ni) ----* 0 , et x 1---+ 0 est continue par morceaux sur
noo
[0; l]
•Pour tout n de N, 1 Cfa(n)) 2
I ::;:; 1, et x 1---+ 1 est continue par
morceaux, ?: 0 , intégrable sur [0; l].
D'après le théorème de convergence dominée,
f' Cfa(n)) 2 ----* f' 0 =O.
lo
noo lo
Mais, pour tout n de N :
fo' ( !a(n)(x))2dx = fo' 1 - cos22a(n)x dx
1
1
= 2
- 2
sina(n) cosa(n),
d'où, puisque sin a(n) = fa(n)Cl)----* 0 et que
noo
( cos a (n ))
est bornée :
n ~O
l o
i
2
l
( fa(n)(x) ) dx ----* -,
O
noo 2
contradiction.
Soit s > O. D 'après le Th. 1 du § 5.2.1, il existe une
application en escalier é
11 f -
d'où : 'Vx E]O; +oo[,
ll
b
ixt 1 N- 1
leirn<+ l-eixa
a
k= O
X
X
où M = Max IÀkl ·
O~k ~ N
Puisque N est fixé, il existe x o E ]O; +oo[ tel que :
'Vx E [xo; +oo[,
2NM
--::;:; s.
X
On a alors, pour tout x de [xo; +oo[ :
1 1b f(t)e ixtdtl
: : ; : ; 1 1b (f(t) -
'Vs > 0, 3xo E]O; +oo[, 'Vx E [xo; +oo[,
1 1b f(t)eixtdtl ::;:; é,
c'est-à-dire:
l
b
.
f (t) e l XI dt - - - Ü.
a
x~+oo
1 663