-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
b) • Pour tout n de N , fn est de classe C 1 sur IR'f. et :
*
1
(-l)n + I
Vx E IR+ , fn(x) =
312
.
2(x + n)
Donc L f/, converge normalement (donc uniformément)
n
sur IR'f..
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, on en déduit que S est de
classe C
1 sur IR'f. et :
Vx E IR'f.,
l +oo (-l)n+I
S'(x) = - "
.
2 ~ (x +n) 3/ 2
• Puisque L fn converge uniformément sur IR'f. et que, pour
n;;;:O
(- l)n
chaque n E N*, fn (x) -----+
r.:: , on déduit :
x....,. o+ .yn
l
+oo
+oo ( - l)n
S (x) - ~ = L f,,(x)-----+ L r.:: ·
.yx
n=I
x....,.o+ n= I .yn
1
En particulier, S(x) ~
~,et donc S(x)-----+ + oo.
x....,.Q+ yX
x_,. Q+
• Puisque L fn converge uniformément sur IR'f. et que, pour
n
chaque n E N ,Jn(x) ~ 0 , on déduit:
x....,.+oo
S(x) ~O.
x....,.+oo
Réponse : • S est de classe C 1 sur IR'f.
• S(x) -----+ + oo
x....,. o+
•S (x) ~O.
x....,. +oo
e-tx
c) •Montrer d'abord que, pour tout x de IR'f., t ~ ----,,,...---.Jï ( l + e- 1)
est intégrable sur ]O; +oo[.
• Soit x E IR'f. fixé.
Notons, pour n E N, e-tx
Vt E IR'f. ,
On a, pour tout (n ,t) E de N x IR'f. :
+oo
e- tx
1
Rn(t) = L <{Jk(t) = .Jï (-l)(n+l)e-(n + l )t 1 +e- 1
k=n+ I
Ceci montre que Rn est continue et intégrable sur ]O; +oo[ . De
plus :
1
r +oo
1
r +oo e- lo R,,(t) dt ~ lo
.Jï dt
1
r +oo e- tl
u=(~+ l )t .Jn + 1 Jo .JU du.
Ceci montre : { +oo R 11 (t) dt -----+ 0.
Jo
noo
On peut alors permuter lo+oo et ~ (cf. 5.3.4 Remarque
n=O
p. 331), d'où :
lo
+oo
e - 1x
+oo
lo+oo e-t (x+n)
- - - dt= L::c- 1t
dt.
0
.Jï(l + e-')
n=O
0
.Jï
Enfin:
lo
+oo e- t (x +n)
r;
dt
0
yl
=
2
r +oo e - 112 du= _.fii_n_
u=Jt(x+n ) .Jx + n Jo
.Jx + n '
d'où:
lo
+oo
e- lx
+oo (-1)"
.Jï
dt = .Jï L Jx+1î = J;iS(x).
O
(1 +e1
)
n=O x +n
a) Réponse : • L f 11 converge uniformément sur IR+
n
• L f,, ne converge pas normalement sur IR+ ; pour tout a > 0
li
fixé,
• L fn converge normalement sur [a; +oo[.
n
b) • Pour tout n de N , fn est de classe C 1 sur IR+ et :
n(-l)n+I
f/,(x) =
n + 1
Il en résulte que L J/, converge normalement (donc uniforn
mément) sur tout [a; +oo[, a > 0 fixé.
• L fn converge simplement sur IR+ (cf. a)).
n
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, on en déduit que S est de classe
C 1 sur IR'f. et :
+oo n( l )"+ l
S'(x) = L - e- nx .
n=O n + 1
'Vx E IR'f.,
Nous reviendrons sur la dérivabilité en 0 à droite après avoir
calculé S (cf. c)) .
+oo (-l)n+le- (n+ l )x
c) Vx E IR+ , -e-x S(x) = L -----n=O
n + 1
Comme dans b), on peut dériver terme à terme sur IR'f. , d'où,
en notant T(x) = -e-x S(x) :
+oo
e-x
Vx E IR* + , T'(x) = " -(-l)n+ le- (n+ l)x = - - -
~
1 +e-X
n=O
On déduit, en prirnitivant et en utilisant
+oo (-l)n+ I
T(O) = L
= -ln 2 :
n=O n + 1
Finalement: Vx E IR+,
T(x) = - ln(l + e-x).
ln(l + e- x)
S(x) =
.
e-X
On voit alors que S est de classe C
1 sur IR+ .