1.2 · Limites, continuité
Un exemple de calcul de la norme d'une application linéaire continue
On note E = C([O; l ],R) muni de 11 .l l 1, et

V f E E, Vx E [0; l], (f)(x) = L' f(t)dt.
Montrer

lll.
Solution
•Il est clair que, pour toute f E E ettout x E (0; 1 ], 1x f (t) dt existe, et, pour toute
f E E , l'application

(f) est une primitive de f
sur (0 ; l].
•Soient À ER, f ,g E E. On a, pour tout x E (0 ; l] :
donc:
(À/+ g) (x) = 1x (À/+ g)(t) dt =À 1~ f (t) dt+ 1~ g(t) dt
= À (À/+ g) = À(g) ,
ce qui montre que

• Soit/ E E.
On a :
ll(f)ll 1 = fo
1
l(f)(x)I dx = fo
1
1 L' f(t)dt l dx
~ fo
1
(fox lf(t) I dt) 1
(1
1
1/Ct)I dt) = 1 1/11 1 1
1
dx = 1 1/1 11.
Comme

111lll ~ 1.
• Considérons, pour tout n E N :
f ,, : (0 ; l]----+ R, t ~ f,,(t) = (1 - t)" .
Tl est clair que: 'Vn EN, f,, E E.
Soit n E N. On a:
1
1
Il
[
( 1 - t )''+ 1 ] 1
1
llJ.,111 = (1 - t) dt = -
= - -
0
n + l
0
n+l
Conseils
On vérifie d'abord que, pour toute f E E ,
(f) existe et (f) E E .
On essaie de déterminer une suite (f, 1 ),,eN
dans E de façon q ue :
ll(f,,)111 -
1.
11/,,111 1100
On pourrait aussi envisager, par exemple, la
suite (f, 1 ) 11eN• d'applications de [0; I]
dans IR définie par:
1
l
I - 111 si O ~ 1 ~ -
f,,(t) =
Tl
. 1
Ü
SI - ~ 1 ~ ) .
Il
Calcu l de 11;;, 11i .
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