-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
56
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Solution
et, pour tout x E [O; 1) :
l
x
[
(1 iy+1 ]x 1 (1 xy+1
(f,,)(x) =
(1 - t)" dt =
-
= - - - - - - ~ 0,
0
n+l
0
n+l
n+l
donc:
t ( 1 (1 - x)"+I)
ll(f,,)11 1 = Jo n + 1 - n + 1 dx
1
1 [
(l-x)
11 +
2
]
1
= fl+l - n+l - fl+2 0
1
- - - - - - - -
n+l
(fl+l)(fl+2)
n+2
Ainsi, pour tout n E N, f,, =f. 0 et :
11 (f,,) l l 1
llf,. l l 1
fi+ 1
--+ 1.
fi + 2 1100
Ceci montre 111 111 ~ 1 et on conclut finalement :
E CC(E)
et
11 1lll = 1.
les méthodes à retenir
Applications linéaires continues
Conseils
Calcul de ll(f,,) ll 1. précédé du calcul de
(f,, ) (x ) , pour tout x E [0; 1].
On s'assure de f 11 =!= 0, pour pouvoir diviser
par ll f nl li.
• Pour obtenir des inégalités sur des normes d ' applications linéaires continues, (ex. 1.2.9), appliquer la définition de 11 1-111 (Notation p. 53) ou les formules de la Prop. 1 p. 53.
• Pour montrer qu'une application linéaire f: E ~ Fest continue (ex . 1.2.14, 1.2.15, 1.2.17), il suffit de
prouver qu' il existe M E lR+ tel que:
Vx E E , llf(x)llF ~ Mllxlle
cf. Th. p. 52.
Dans de nombreux exemples simples, 111f111 sera le réel M obtenu précédemment. Pour l' établir, on essaie :
ou bien de montrer qu'il existex E E- {O} tel que M = llf(x)llF (ex. 1.2.14, l.2.15, l.2.17)
llxlle
.
.
llf(xn)llF
- ou bien de trouver une smte (x 11 )n dans E - {O} telle que
~ M.
llxnlle
noo
• Pour montrer qu'une application linéaire! : E ~ F n'est pas continue (ex. 1.2.16), montrer qu'il existe une
.
llf(xn)ll F
smte (x 11 ) 11 dans E - {O} telle que
~ + oo.
llxn lie noo
• Les exercices 1 .2.20 et 1.2.21 étudient la topologie des matrices. Pour montrer qu'une partie de
M 11 (IK) est ouverte (resp. fermée) , essayer de la faire apparaître comme image réciproque d' une partie ouverte
(resp. fermée) par une application continue.