Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
On ne peut avoir M 1 = 0
ou M2 = 0 que si E = {0}.
Plus généralement, voir P 1.1 p. 98.
Caractérisation de la continuité pour
une application bilinéaire.
Q Ces trois applications sont bilinéaires.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Exercices 1.2.20 à 1.2.22.
54
Preuve
(i) {:::=> (ii) :
Puisque ldE E L(E), on a:
{
ldE : (E,N) ~ (E,N') continue
ldE : (E,N') ~ (E,N) continue
{:::=> l 3M1 E lR+, Vx E E, N'(I 3M2 E lR+, Vx E E, N(ldE(x)) ~ M2N'(x)
{=> (3(a,,B) E (JR.~)
2
, Vx E E, aN(x) ~ N ' (x) ~ ,BN(x)),
1
en prenant a= - et ,B = M 1 .
M2
(i) {:::=> (iii) :
Cf. 1.1.6 Rem. p. 19.
Soient E, F , G trois OC-evn, B : E x F -----+ G une application bilinéaire.
•
S'il existe k E lR+ tel que:
V(x ,y) E E x F, l IB(x,y)l IG ~ kl lxl IE l IYI IF, alors
B est continue.
Preuve
Soit (x 0 ,y 0 ) E E x F. On a, pour tout (x,y) de Ex F:
ll B(x ,y) - B(xo,Yo)l lc = llB(x - Xo ,y) + B(xo,y - Yo)llc
~ llB(x - xo,Y)llc + llB(xo,Y - Yo) llc
~ kllx - xoll ll Yll + kl lxol l llY - Yoll
0,
ce qui montre que B est continue en (x 0 ,y 0 ).
1) Soit E un OC-evn. L'application Il{ x E -----+ E est continue.
(À,X)~ÀX
(x,y)--+(xo.Yo)
2) Soit A une OC-algèbre normée. L'application A x A -----+ A est continue.
(u ,v )~uv
3) Soit E un OC-evn. L'application f:C(E) x f:C(E) -----+ f:C(E) est continue.
(f,g )~g o f
Preuve
La Prop. 3 s'applique :
1) llhll = IÀI llxll. 2) lluvll ~ llull llvll, 3) lllg o !Ill ~ lllglll 111!111.
•
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