Nous verrons plus loin (cf. 1.3.2 Prop. 1
p. 64) que, si E est de dimension finie,
alors toute application linéaire de E
dans Fest continue.
Cette borne supérieure existe puisque
{
llf (x)ll F ; XE E - {0}} est
llxllE
une partie majoréedelR (d.théorème
précédent) et non vide.
Exercices 1.2.14 à 1.2.19.
Q Le cas À = 0 est d'étude immédiate.
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0
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0
(V)
......
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Exercice 1.2.9.
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1.2 • Limites, continuité
---..
On note : • .CC(E, F) l'ensemble des applications linéaires continues de E dans F
• .CC(E) l'ensemble des endomorphismes continus de E
• E' = .CC(E,JK), appelé dual topologique de E.
l~MMU.j, ___________________ _
1111111 = Sup lll(x)llF·J
xEE - {O}
llxllE
Si E # {O}, on note, pour toutl de .CC(E , F) :
- - - -
Si E = {0} et f E .CC(E, F), alors f = 0 et on notera donc 11 11111 =O.
Remarque:
.
ll f (x)l lF
S1Ef.{O}etfE.CC(E,F),ona: Sup
Il = Sup ll f(x) ll F= Sup ll f(x) llF ·
xe E~ {O) llx E
llxl lE,,; 1
llxllE=I
l)Vl E .CC(E ,F) , Vx E E , lll(x)llF ~ 1111111 llxllE
2) V(f,g) E (.CC(E,F)) 2 , {
l + g E .CC(E ,F)
Ill/ +glll ~ 1111111 + lllglll
3) VÀ E IK, V f E .CC(E , F), {
À/ E .CC(E, F)
lllÀllll = IÀI 111/111
4)Vf E .CC(E,F), Vg E .CC(F,G) , {
g o f E .CC(E,G)
lllg o /Ill ~ lllglll 111/111.
Preuve
1) Résulte immédiatement de la définition de 111 f 111 .
2) 'Vx E E , ll (f + g)(x) ll F ~ ll f(x) llF + llg(x) llF ~ Clllf ll l + lllglll)llx llE .
3) 'Vx E E , ll (Àf)(x) ll F = IÀI llf(x) ll F ~ IÀI lll fl ll llxllE ,
ce qui montre Àf E iX(E , F) et ll lV ll l ~ l>1.l lll fll l.
En appliquant ce résultat au couple ( ~, Àf) au lieu de (À , f) , si ). f. 0, on obtient :
111 ~Àf111 ~ 1 ~ 111 IV ll I, c'est-à-dire IÀI 111! 111 ~ 111;..1111, et finalement 11I V I11 = IÀI 111! 111 .
4) 'Vx E E , ll (g o f)(x) llc ~ lll gl ll ll f(x) ll F ~ lllglll ll lf lll llxl lE·
•
La Proposition précédente montre que :
{
(.CC(E , F),1 11 -11 1) est un JK-evn
(.CC(E) ,111-11 1) est une OC-algèbre normée(ll lldE lll = 1 trivialement).
La norme 111- 111 sur .CC(E , F) est appelée la norme subordonnée aux normes 11. ll E et 11 -1 IF·
Soient E un IK-ev, N,N' deux normes sur E, 0 (resp. 0
1
) l'ensemble des ouverts de
(E, N) (resp. (E, N ' ) ). Les trois propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i)
N ""' N '
(ii)
(iii)
IdE: (E,N)----+ (E,N' ) et IdE: (E,N' )----+ (E,N) sont continues.
0=0'.
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