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52
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1.2.5
Ainsi, pour montrer qu'une application
linéaire f E ,C (E , F ) est continue, il
suffit de prouver l'existence d'un réel
M ?: 0 tel que :
Vx E E , llf(x)ll F ~ Mllx!IE.
Exercices 1.2.10 à 1.2.13.
Applications linéaires continues
Soient (E,11 .ll E) , ( F ,11 .ll F) deux OC-evn, dE (resp. dF) la distance associée à 11 .ll E
(resp. 11.llF).
Rappelons quelques définitions, notations, et résultats d'algèbre.
Une application f : E ~ Fest dite linéaire (ou : OC-linéaire) si et seulement si :
'O .. E OC, 'v'(x ,y) E E
2
,
f(ÀX + y)= )..j(x ) + j(y).
On note .C(E, F ) (ou .Coc(E,F)) l'ensemble des applications linéaires de E dans F, et .C(E)
(ou .Cn<( E)) l'ensemble des endomorphismes de E , c'est-à-dire l'ensemble des applications
linéaires de E dans E .
.C(E , F ) est un OC-ev; si f E .C(E , F) et g E .C(F, G) (G étant un OC-ev), alors g o f E .C(E, G) .
.C(E) est une OC-algèbre (la troisième loi étant la composition).
Caractérisation de la continuité pour une application linéaire
Pourf E J.:(E, F) , les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
(i) f est continue (sur E).
(ii) 3M E IR+ , 'v'x E E, llf(x)llF ~ MllxllE·
Preuve
1) Supposons f continue. En particulier, f est continue en 0 ; il existe donc T/ > 0 tel que :
'v'u E E , (Jlu llE ~ T/ ===? ll f(u) llF ~ 1) .
Soitx E E - {O}; comme 11- T/ - xllE = 'f} ,
llxll E
1
d'où ll f(x) ll F ~ - llx ll E·
'f}
Ceci montre : 'v'x E E ,
l
llf(x)llF ~ -llx ll E·
T/
on a Il ! (11:~IE X) ll F ~ 1,
2) Réciproquement, supposons qu'il existe M E IR+ tel que :
'v'x E E ,
ll f(x) llF ~ M llxl lE·
On a alors:
'v'(x1,x2) E E 2 , ll f(x1)-f(x2) ll F = llf (x 1 -x2)llF ~ Mllx1 -x2ll E·
Ainsi, f est M -lipschitzienne, donc continue.
Remarque:
•
Le théorème précédent permet de déduire aisément que, pour f E .C(E,F), les propriétés
suivantes sont deux à deux équivalentes :
1) f est continue en 0
2) f est continue (sur E)
3) f est uniformément continue
4) f est lipschitzienne
5) 3M E IR+,'v'x E E,
ll f(x) ll F ,,:;; M llx JJ E
6) f est bornée sur la boule unité fermée de E, c'est-à-dire:
7) f est bornée sur la sphère unité, c'est-à-dire:
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1.2.5
Ainsi, pour montrer qu'une application
linéaire f E ,C (E , F ) est continue, il
suffit de prouver l'existence d'un réel
M ?: 0 tel que :
Vx E E , llf(x)ll F ~ Mllx!IE.
Exercices 1.2.10 à 1.2.13.
Applications linéaires continues
Soient (E,11 .ll E) , ( F ,11 .ll F) deux OC-evn, dE (resp. dF) la distance associée à 11 .ll E
(resp. 11.llF).
Rappelons quelques définitions, notations, et résultats d'algèbre.
Une application f : E ~ Fest dite linéaire (ou : OC-linéaire) si et seulement si :
'O .. E OC, 'v'(x ,y) E E
2
,
f(ÀX + y)= )..j(x ) + j(y).
On note .C(E, F ) (ou .Coc(E,F)) l'ensemble des applications linéaires de E dans F, et .C(E)
(ou .Cn<( E)) l'ensemble des endomorphismes de E , c'est-à-dire l'ensemble des applications
linéaires de E dans E .
.C(E , F ) est un OC-ev; si f E .C(E , F) et g E .C(F, G) (G étant un OC-ev), alors g o f E .C(E, G) .
.C(E) est une OC-algèbre (la troisième loi étant la composition).
Caractérisation de la continuité pour une application linéaire
Pourf E J.:(E, F) , les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
(i) f est continue (sur E).
(ii) 3M E IR+ , 'v'x E E, llf(x)llF ~ MllxllE·
Preuve
1) Supposons f continue. En particulier, f est continue en 0 ; il existe donc T/ > 0 tel que :
'v'u E E , (Jlu llE ~ T/ ===? ll f(u) llF ~ 1) .
Soitx E E - {O}; comme 11- T/ - xllE = 'f} ,
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Ceci montre : 'v'x E E ,
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2) Réciproquement, supposons qu'il existe M E IR+ tel que :
'v'x E E ,
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On a alors:
'v'(x1,x2) E E 2 , ll f(x1)-f(x2) ll F = llf (x 1 -x2)llF ~ Mllx1 -x2ll E·
Ainsi, f est M -lipschitzienne, donc continue.
Remarque:
•
Le théorème précédent permet de déduire aisément que, pour f E .C(E,F), les propriétés
suivantes sont deux à deux équivalentes :
1) f est continue en 0
2) f est continue (sur E)
3) f est uniformément continue
4) f est lipschitzienne
5) 3M E IR+,'v'x E E,
ll f(x) ll F ,,:;; M llx JJ E
6) f est bornée sur la boule unité fermée de E, c'est-à-dire:
7) f est bornée sur la sphère unité, c'est-à-dire: