1.2 • Limites, continuité
En appliquant ce dernier résultat à (y,x) au lieu de (x ,y) , on a aussi:
et finalement :
d(y ,A ) - d (x, A) ::::;; d (y,x),
ld(x ,A) - d(y,A)I ::::;; d(x ,y).
3) On a, pour tous x =(x i , ... ,x,,) , y= (Yi, ... ,y 11 ) de E et tout k de {l , ... ,n):
Nk (Prk (x ) - prk(y)) = Nk(xk - yk) ::::;; M_ ax Ni(Xi - yi) = v (x - y) .
1 :::;;; 1 ~n
Toute application lipschitzienne est uc.
Preuve
Supposons f : X -----+ F k-lipschitzienne, et soit & > O.
ê
En notant 17 = - - > 0 ,
k+ I
on a:
V(x
1 ,x
11
) E X
2 ,
( d E(x
1 ,x
11
) < 17 ===} dp(f(x
1 ),f(x
11
)) ::::;; k -
8
-
::::;; & ) ,
k + I
•
et donc f est uc sur X.
•
Remarque:
La réciproque de la proposition précédente est fausse: une application peut être uc sans être
lipschitzienne; exemple :f : [O; 1] -----+ IR .
X 1----7 ..jX
Rappelons (cf. Analyse MPSI, 5.2.2 Prop.) :
Exercice 1.2.8.
Soit l un intervalle de IR et f : l -----+ IR une application dérivable sur l ; alors, f est
lipschitzienne si et seulement si f' est bornée.
1.2.7 On note L le IR -ev des applications lipschitziennes
de [0; l] dans IR, et Ei = ci([O; l] ,IR) .
a) Montrer que 11- 1 1 : L -----+ IR définie par :
Vf EL, 11!11 = lf(O)I + Sup
(x ,y)EIO; JJ2
x#-y
lf(x) - f(y)I
lx -yl
est une norme sur L , et qu'elle n'est pas équivalente à
1 1 -lloo·
b) Montrer que N : E i -----+ IR définie par :
V f E Ei , N(f) = lf(O )I + Sup lf'(t) I
TE[O, i )
est une norme sur Ei et qu'elle coïncide avec 11-11
(restriction de 11-11 à Ei).
1.2.8
Soient E , F deux evn, X E i+J ( E) , B (X, F) l'ensemble des applications bornées de X dans F , muni de
1 1-lloo· Pour (a,f) E X x B(X, F) on appelle oscillation
de f en a, et on note w(f,a) l'élément de IR+ défini par:
w(f,a) =
Tnf (diam (f (V))).
VEVx (a)
Montrer que, pour tout (a ,&) de X x IR'f., l'ensemble
{f E B (X,F);w(f,a)::::;; &}est fermé dans (B (X,F),
1 1-1 loo).
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