"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
4) Considérons, pour n E N*, h,, : lR ~ C définie par:
y
-n
n
-n - 1
0
n+I
X
0
si X ::::; -n - 1
1 x+n+l
si
- n - 1 ::::; x ::::; -n
h,, (x ) =
1
si
-n ::::; x ::::; n
-X +n + 1 si n :;::; x ::::; n+I
0
si n+ 1 ::::; x
Ilestclairque,pourtoutnde N* ,f,, E JC(JR,C)et ll f,,lloo = 1.
Supposons qu'il existe une ex tractrice a : N* ~ N* telle que
(h a( 11 >) 11 ~ J converge vers un élément h de JC(JR,C), pour
c.u.
c.s.
11 · l loo. Alors h a(11 ) -----+ h , donc h a( 11 ) -----+ h. Mais, pour
11 00
11 00
tout x de JR , ha(n) (x) = 1 dès que a(n) ;?: x , donc
ha (11)(X)-----+ 1.
11 00
II en résulte h = 1 (constante sur JR ), contradiction avec
h E JC (JR,C) .
Ainsi, (h,, ),, ~ 1 n'admet aucune suite extraite convergente,
donc la boule unité fermée de JC (JR,C) n'est pas compacte.
c) Soient f E C .C 1 (JR, C) intégrable eu: E JRt. Il existe A E JRt
tel que:
1_: lf l::::; ê et i + oo lf l::::; ê .
Puisquefestcontinue sur[-A; A],festbornéesur[-A ; A] ;
notons M =
Sup lf(x) I.
xE [- A:A]
s
Notons 17 =
, et construisons g 8 : lR ~ C , continue,
2M+ 1
nulle sur] - oo; -A] et sur [A; + oo[, coïncidant avec f sur
[-A+ 17; A -17], e t obte nue par raccord affine s ur
[-A; -A + 17] et sur [A - 17 ; A], comme en b) 4).
Il est clair que g 8 E JC (JR,C), ge est intégrable sur lR, et :
!
-A
1-A
j +oo
•
If - gel =
lfl ::::; S et
If - ge l ::::; S
-OO
- OO
A
•fA-T/ If- ge l =Û
- A+T/
D'où: ll f - gell 1 = i+: If - gel::::; 4s.
Finalement, K(JR,q est dense dans ( c.c1 (JR,C), Il · 11 1).
On e ssaiera d'appliquer le théorème de convergence dominée. Mais, dans beaucoup d'exemples, on peut aussi arriver au
résultat par des majorations, minorations, encadrements, transformations de l'intégrale, ... , ce qui est plus élémentaire.
a) J ère méthode :
Appliquer le théorème de convergence dominée à
(j,, : x 1---+ tan" x),, ~ 0
si
si
7T
Û::::; X < -
4
7T
X= -
4
la domination étant assurée par 2 ème méthode :
Io
!!.
loi t"
O ::::;
4
tan" x dx =
- -
2
dt
O
t=tanx O 1 + t
l o
i
1
::::;
t"dt = - - -----+ o.
O
n + l noo
Réponse: O.
b) J ère méthode:
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [O; +oo[,
à (111 : X 1---+
l . )
x" + e~ ,, ~o
{ e~
si Ü::::; X < 1
et j: X 1---+ _ l _ si x=I
l+e
0
si 1 < X
la domination étant assurée par 2 ème méthode :
Avec les mêmes f,, et f que ci-dessus (pour n ;;::: 2):
+ r+oo 1
- ri x"
11 x" + ex
Io
1
li+oo 1
1
1
::::;
x " dx +
-
1
x"
n + 1 n - 1 11 00
Enfin:
r+oo f = ri ~dx=l-e- 1 .
lo
lo e~
Réponse: 1 - e- 1 .
c) ] ère méthode :
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [0; +oo[,
à (111 : X 1---+
~
11
)
x 11 + + 1 ,, ~o
f x~p
si Ü::::; X < ]
et
si x =l
, la domination étant
l
x 2
si
< X
u
si Ü::::; X ::::; 11 ·
assurée par si l ::::; X
0
c
::J
0
(V)
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0
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4) Considérons, pour n E N*, h,, : lR ~ C définie par:
y
-n
n
-n - 1
0
n+I
X
0
si X ::::; -n - 1
1 x+n+l
si
- n - 1 ::::; x ::::; -n
h,, (x ) =
1
si
-n ::::; x ::::; n
-X +n + 1 si n :;::; x ::::; n+I
0
si n+ 1 ::::; x
Ilestclairque,pourtoutnde N* ,f,, E JC(JR,C)et ll f,,lloo = 1.
Supposons qu'il existe une ex tractrice a : N* ~ N* telle que
(h a( 11 >) 11 ~ J converge vers un élément h de JC(JR,C), pour
c.u.
c.s.
11 · l loo. Alors h a(11 ) -----+ h , donc h a( 11 ) -----+ h. Mais, pour
11 00
11 00
tout x de JR , ha(n) (x) = 1 dès que a(n) ;?: x , donc
ha (11)(X)-----+ 1.
11 00
II en résulte h = 1 (constante sur JR ), contradiction avec
h E JC (JR,C) .
Ainsi, (h,, ),, ~ 1 n'admet aucune suite extraite convergente,
donc la boule unité fermée de JC (JR,C) n'est pas compacte.
c) Soient f E C .C 1 (JR, C) intégrable eu: E JRt. Il existe A E JRt
tel que:
1_: lf l::::; ê et i + oo lf l::::; ê .
Puisquefestcontinue sur[-A; A],festbornéesur[-A ; A] ;
notons M =
Sup lf(x) I.
xE [- A:A]
s
Notons 17 =
, et construisons g 8 : lR ~ C , continue,
2M+ 1
nulle sur] - oo; -A] et sur [A; + oo[, coïncidant avec f sur
[-A+ 17; A -17], e t obte nue par raccord affine s ur
[-A; -A + 17] et sur [A - 17 ; A], comme en b) 4).
Il est clair que g 8 E JC (JR,C), ge est intégrable sur lR, et :
!
-A
1-A
j +oo
•
If - gel =
lfl ::::; S et
If - ge l ::::; S
-OO
- OO
A
•fA-T/ If- ge l =Û
- A+T/
D'où: ll f - gell 1 = i+: If - gel::::; 4s.
Finalement, K(JR,q est dense dans ( c.c1 (JR,C), Il · 11 1).
On e ssaiera d'appliquer le théorème de convergence dominée. Mais, dans beaucoup d'exemples, on peut aussi arriver au
résultat par des majorations, minorations, encadrements, transformations de l'intégrale, ... , ce qui est plus élémentaire.
a) J ère méthode :
Appliquer le théorème de convergence dominée à
(j,, : x 1---+ tan" x),, ~ 0
si
si
7T
Û::::; X < -
4
7T
X= -
4
la domination étant assurée par 2 ème méthode :
Io
!!.
loi t"
O ::::;
4
tan" x dx =
- -
2
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O
t=tanx O 1 + t
l o
i
1
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t"dt = - - -----+ o.
O
n + l noo
Réponse: O.
b) J ère méthode:
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [O; +oo[,
à (111 : X 1---+
l . )
x" + e~ ,, ~o
{ e~
si Ü::::; X < 1
et j: X 1---+ _ l _ si x=I
l+e
0
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la domination étant assurée par 2 ème méthode :
Avec les mêmes f,, et f que ci-dessus (pour n ;;::: 2):
+ r+oo 1
- ri x"
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1
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n + 1 n - 1 11 00
Enfin:
r+oo f = ri ~dx=l-e- 1 .
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Réponse: 1 - e- 1 .
c) ] ère méthode :
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [0; +oo[,
à (111 : X 1---+
~
11
)
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et
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, la domination étant
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