"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
2ème méthode :
- - fo' xn
i +oo
1
---,,---dx +
dx
xn+2 + 1
1
x2 (x11+2 + 1)
Enfin:
J
I
i +oo 1
~
x n dx +
- - 4
dx
O
1
xn+
1
1
= -- + -- ~ o.
n + 1 n + 3 noo
lo
+oo
i +oo 1
f=
- dx =l.
O
1
x 2
Réponse: 1.
d) J ère méthode :
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [O; +oo[,
à (fn : X t----7 2:" )
X
+ 1 n;;, 2
si
et
si
X# 11
x = 1
, la domination étant assurée par x 2
2ème méthode:
lo
+oo x"
0 ~
dx
0
x2n + 1
si
si
O ~ x ~ l l ·
1 ~ X
= ro' x" dx + r +oo x" dx
lr: x 211 + 1
11 x 211 + 1
~ {
1
x" dx + { +oo _.!.._ dx
lo
11 x
11
1
1
= -- + -- ~ o .
n + 1 n - 1 11 00
Réponse: O.
l
e) Pour p > 0 fi xé, x t----7
e st c ontinue sur
(xP + 1) 11
[O; +oo[, et e st intégrable sur [O; +oo[ si et seulement si
pn > 1. En notant N = E ( ~) + 1 , on suppose donc n ~ N.
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [0; +oo[,
à ( fn : X t----7 (xP ~ l)11 )
n ;;, N
et f : X t----7 { ~
SI
SI
X =0 1
X > 0
1
la domination étant assurée par rp : x r+ - - .
x" + 1
Réponse: O.
f) Appliquer le théorème de convergence dominée, sur
[O; + oo[, à (f,, : x t----7 2
1
)
1 + x + x"e- x 11 ;;,0
si Û ~ X < 1
et f : X t----7
si x =l
si 1 < X
étant assurée par rp : x t----7 -
1
- 2
.
1+x
Enfin:
, l a domination
lo
+oo
Io' 1
1
n
f(x ) dx =
- - 2 dx = [Arctan x ] = -.
O
o 1 + x
0
4
,
n
Reponse: 4 .
g) Appliquer le théorème de convergence dominée sur
[O; +oo[, à (!n : x t----7 2
1
1
)
(x " +x11+ l) / 11 11 ;;, l
et f : X t----7 ( l
x 2
si
si
O ~ x ~ l l
, la domination étant
l ~ x
assurée par rp = f , en remarquant que, pour x fixé :
• si Ü < X < 1,
l
x n
ln(f 11 (x)) = - - ln(l +x" + x 211 ) "' - - ~ 0
n
1100
n noo
• si 1 < x, ln(f 11 (x)) = -~ ln(l + x" +x 2 ")
"' - ~ ln(x 2 n) = - ln(x 2 ) .
noo n
Réponse: 2.
h) J ère méthode :
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [O; +oo[,
à (!n : x t----7 e - ~ 2
)
et f : x t----7 -
1
-
la domi1 + x 11 ;;, l
l + x 2
nation étant assurée par rp : x r+ 1 + x 2 ·
2ème méthode :
Pour n ~ 1, décomposer ! 11 en ln = 1 11 + Kn,
lo
,,/ii e- ~
f +oo e- ~
où 1 11 =
- - 2 dx et K,, =
- - 2 dx .
O
l +x
,,;n l +x
• l n ~ { ,,/ii _l_ dx ~ r +oo ~
lo l + x 2
lo l + x 2 2
1
e t
Io
,,/ii e - ,,/ii
- _L
n
ln ~
- - dx = e ,,/ii Arctan ,Jn ~ - ,
O 1 + x2
noo 2
7f
donc ln ~-.
noo 2
f
+oo
1
• 0 ~ K 11 ~
- -
2
dx
,,/ii 1 + X
7f
= - - Arctan Jn ~ 0 , donc K 11 ~O.
2
noo
11 00
,
7f
Reponse: - .
2
1 657
0
c
:J
0
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.......
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2ème méthode :
- - fo' xn
i +oo
1
---,,---dx +
dx
xn+2 + 1
1
x2 (x11+2 + 1)
Enfin:
J
I
i +oo 1
~
x n dx +
- - 4
dx
O
1
xn+
1
1
= -- + -- ~ o.
n + 1 n + 3 noo
lo
+oo
i +oo 1
f=
- dx =l.
O
1
x 2
Réponse: 1.
d) J ère méthode :
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [O; +oo[,
à (fn : X t----7 2:" )
X
+ 1 n;;, 2
si
et
si
X# 11
x = 1
, la domination étant assurée par x 2
2ème méthode:
lo
+oo x"
0 ~
dx
0
x2n + 1
si
si
O ~ x ~ l l ·
1 ~ X
= ro' x" dx + r +oo x" dx
lr: x 211 + 1
11 x 211 + 1
~ {
1
x" dx + { +oo _.!.._ dx
lo
11 x
11
1
1
= -- + -- ~ o .
n + 1 n - 1 11 00
Réponse: O.
l
e) Pour p > 0 fi xé, x t----7
e st c ontinue sur
(xP + 1) 11
[O; +oo[, et e st intégrable sur [O; +oo[ si et seulement si
pn > 1. En notant N = E ( ~) + 1 , on suppose donc n ~ N.
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [0; +oo[,
à ( fn : X t----7 (xP ~ l)11 )
n ;;, N
et f : X t----7 { ~
SI
SI
X =0 1
X > 0
1
la domination étant assurée par rp : x r+ - - .
x" + 1
Réponse: O.
f) Appliquer le théorème de convergence dominée, sur
[O; + oo[, à (f,, : x t----7 2
1
)
1 + x + x"e- x 11 ;;,0
si Û ~ X < 1
et f : X t----7
si x =l
si 1 < X
étant assurée par rp : x t----7 -
1
- 2
.
1+x
Enfin:
, l a domination
lo
+oo
Io' 1
1
n
f(x ) dx =
- - 2 dx = [Arctan x ] = -.
O
o 1 + x
0
4
,
n
Reponse: 4 .
g) Appliquer le théorème de convergence dominée sur
[O; +oo[, à (!n : x t----7 2
1
1
)
(x " +x11+ l) / 11 11 ;;, l
et f : X t----7 ( l
x 2
si
si
O ~ x ~ l l
, la domination étant
l ~ x
assurée par rp = f , en remarquant que, pour x fixé :
• si Ü < X < 1,
l
x n
ln(f 11 (x)) = - - ln(l +x" + x 211 ) "' - - ~ 0
n
1100
n noo
• si 1 < x, ln(f 11 (x)) = -~ ln(l + x" +x 2 ")
"' - ~ ln(x 2 n) = - ln(x 2 ) .
noo n
Réponse: 2.
h) J ère méthode :
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [O; +oo[,
à (!n : x t----7 e - ~ 2
)
et f : x t----7 -
1
-
la domi1 + x 11 ;;, l
l + x 2
nation étant assurée par rp : x r+ 1 + x 2 ·
2ème méthode :
Pour n ~ 1, décomposer ! 11 en ln = 1 11 + Kn,
lo
,,/ii e- ~
f +oo e- ~
où 1 11 =
- - 2 dx et K,, =
- - 2 dx .
O
l +x
,,;n l +x
• l n ~ { ,,/ii _l_ dx ~ r +oo ~
lo l + x 2
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1
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,,/ii e - ,,/ii
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ln ~
- - dx = e ,,/ii Arctan ,Jn ~ - ,
O 1 + x2
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7f
donc ln ~-.
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1
• 0 ~ K 11 ~
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2
dx
,,/ii 1 + X
7f
= - - Arctan Jn ~ 0 , donc K 11 ~O.
2
noo
11 00
,
7f
Reponse: - .
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