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0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Réponse : par exemple :
1
1
Û
Si X <;; 1 - J OU X ;;. ] + J
p
p
g2p: x t----->
p ( x - 1 + ; 3 ) si 1 - ; 3 <;; x <;; 1
- p ( X - 1 - ; 3
) Si 1 <;; X <;; 1 + ; 3
0
1
(2 p + l)5x
-
1
5
(x - 2(2p + 1 ) 3 )
(2p + 1)
si X <;; Û OU X ;;, 2(2p + ] )3
Si Û <;; X <;; (2p + ))3
Si (2p + 1 ) 3 <;; X <;; 2(2p + 1)3
[
f311Y11+ 0
1100
{==>
,Jff;; Y11 + 0
1100
Y11 -----+ 0
1100
Réponse : Par exemple,
0
1 1
h11:X~
- x
n4
1
3
- - (x -2n )
n4
a) 1) Vérifications immédiates:
• 0 E CB(IR,C) .
si X ,,;;; 0 OU X;;:;, 2n 3
si 0 ,,;;; X ,,;;; n 3
si n 3 ,,;;; x ,,;;; 2n 3
•'Va E C, 'V f,g E CB(IR,C) , af + g E CB(IR,C) .
•'Vf,g E CB(IR,C) , fg E CB(IR,C) .
• 1 E CB(IR,C), neutre de la multiplication.
2) • 0 E JC(IR,C) .
• Soit f E K(IR, C) . Il existe a E IR tel que f soit nulle en dehors de [-a ; a]. Comme f est continue sur le segment [-a ; a] ,
f est bornée sur [-a; a], et donc f est bornée sur IR . Ceci
montre : JC(IR,C) C CB(IR,C) .
•'Va E C , "If E JC(IR,C) , af E JC(IR,C) .
• Soient f ,g E JC(IR,C) . Il existe (a ,b) E (IR+) 2 tel que f soit
nulle en dehors de [-a; a ] et que g soit nulle en dehors de
[-b ; b]. Alors, f+g est nulle en dehors de [-c;c], où
c = Max(a ,b) , donc f + g E JC(IR,C) .
• Soient f E K(IR, C),

f soit nulle en dehors de [-a ; a]. Alors, f

IR et nulle en dehors de [-a; a], donc f

3) • o E CoCRC) .
•Soit f E Co(IR,C) . Puisque f (x) ~ 0, il existe A E IR+
x ->±oo
tel que :
"lx E IR, ( lxl ;;:;, A===} lf(x) I,,;;; 1).
Ensuite, f étant continue sur le segment [-A; A], f est bornée
sur [-A; A] , et donc f est bornée sur IR .
Ceci montre: Co(IR,C) c CB(JR,C) .
• Soient f E Co (IR,C),

Comme f (x) ~ 0 et que

x -> ±oo
x -> ±oo
f

b) l ) Soit (f 11 ) 11 ?30 une suite d'éléments de CB(IR,C) convergeant vers un élément f de B(IR,C) (pour Il · 11 00 ). Alors
11 fn - f 11 oo -----+ 0 , Un) 11 ::.0 converge uniformément vers f ;
noo
7
comme les f n sont continues, on en déduit que f est continue,
et donc f E CB(IR,C) .
2) Soit (f 11 ) 11 ?30 une suite d'éléments de Co(IR,C) convergeant
vers un élément f de B (IR,C) (pour 11 · l loo).
Puisque Co(IR,C) C CB(IR,C) , d'après 1) : f E CB(IR,C) .
c. u.
De plus, comme fn -----+ f et que, pour tout n de N,
11 00
f n (x ) ~ 0 , on déduit (par le théorème d'interversion des
n->±oo
limites, 5.l.2Th.p.292) f(x) ~ O,etdonc f E Co (IR,C) .
x ->±oo
3) •Il est clair que K(IR,C) c Co(IR,C) , donc, comme Co(IR.C)
est fermé dans B(IR,C) :
JC(RC) c Co(IR,C) = Co (IR,C) .
• Soientf E Co(IR,C), t:: E IR+ .
Puisquef(x) ~ 0 , il existe A E IR+ tel que:
x-> ±oo
Considérons l'application g 8 : IR ~ C définie par:
gs (X) =
si x ,,;;; -A -1
[ f(-A)(x
0
+ A+ IJ si -A-1 ,,;;; x ,;;; -A
f (x)
si -A ,;;; x ,;;; A
- f (A)(x - A - l) si A ,;;; x ,;;; A+I
0
si A+ 1 ,,;;; X
y
_ .,
X
-
y=f(x)
------ y = g, (x)
llestclairqueg 8 E K(IR,C) et ll f-gslloo,,;;; ë,puisque,par
exemple, pour x E [A; A+ 1] :
IJ(x) - 8s (x )I
ê
ê
,,;;; lf(x) I + lf(A) l(A + l - x ) .;;;; 2 + 2 = t:: .
Ceci montre :
'V f E Co(IR,C) , 'Ve > 0 , 3gs E K(IR,C),
ll f - gs lloo,,;;; ë,
donc: Co(IR,C) c JC(IR,C) ,
et finalement: JC(IR,C) = Co(IR,C) .
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