-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
......,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
• Chaque fn est C 1 .
• Vn EN*, Vx E [-1; 1],
c.u.
cf. Analyse MPSI exercice 1.2.30 b) p. 56, donc fn -----+ 1.1
noo
sur (-1; l].
• 1. 1 n'est pas de classe c 1 sur [-1; l].
y
-1
0
1
X
D'après 5.1.6 2) Prop. p. 302, I est nécessairement non borné.
Réponse: par exemple, l = [l; +oo[, et, pour tout n de N*,
si 1 :::; x :::; n
six> n
y
n
0
n
X
Réponse : par exemple,
I = [0; +oo [, et, pour tout n de N*,
f,
[
~ si 0 ~ x ~ n
n : X t----+
Qfl
six> n
y
.f,,
n
0
n
X
La construction suivante est susceptible de nombreuses variantes.
Considérons trois suites réelles (an)n ;;. 1, (f3n)n ;;. 1, (Yn)n ;;. 1 telle
que:
{
0 ~ Vn EN*,
0 ~ Yn
y
Y,,<--------0
a,,-/3,, a,, a,,+{3 11
X
et ( 1
0
si X ~ CX11 - f311 ou X ;;;. a,, + f311
Y11
11
(x - CX11 + f3n) si a 11 - {311 ~ x ~ a 11
Y11
-R(x - CX11 - f311)
si CX11 ~X~ CX11 + f311·
/Jll
Alors, pour tout n de N*, sur IR et de carré intégrable sur IR, et:
• N1 (cpn) = f3nY11 (aire d'un triangle)
( ) 2 1a" ( ~
)2
• N1( =
_
f3n (x - a 11 + {3 11 ) dx
a 11 {3 11
n
1
a,.+f3., ( Y
)2
+
_ _!!_(X - a,, - f3n) dx
a,,
f:3n
2 (
Yn
3 a.,
= - 2 [ex -an +f3n) J
3~
~ -~
[
3] a,.+f3., )
2
2
+ (x - 0'.11 - f311) a,,
= 3 f311 Y 11 ,
donc: N1( • Noo(cp,,) =y,,.
1
f3n Y11 -----+ 0
1100
{::::::::} .JlÇ Yn -f+ 0
1100
Y11-f+ 0
1100
1
a,,=\
{ =
/311 = 3
n
Y11 = n
2
Réponse : par exemple
.
1
1
SI
X ~ J - J OU X ;;;, ] + J
n
n
0
j,, : X r--->
n5 ( x - 1 + n13) si
1
l -3~x~ I
n
-n5 (x - 1 - n13)
1
si l ~x~ l +J
n
(1
a2p=1
1
{ =
f32p = 3
p
Y2p = P
1
a2p+l = (2p + 1)
3
)
f32p+l : (2p: 1)3
.
Y2p+ I - (2p + 1)2
et