"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
1) Convergence simple
Soit x E IR ; distinguons plusieurs cas :
•
X ~ 0:
*
n
Vn EN , ~ ~ f,,(x) ~ 1, donc
vn 2 +1
f,, (x) -----+ 1.
noo
• 0 < x < 2 : V n E N*, 1 ~ fn (x) ~
n
, donc
Jn2 +nx
fn (x) -----+ 1
noo
i ,,
i
r 1 dx
f"(2) ~~'fi;,+ G)' ~ fo v'i+x'
= [1n(x + J 1 + x2) ]~ =ln (1 + ,./2)
• x > 2: pour (n,x) fixé, l'application

t 1------+ (n 2 + tx )- ~
1
u 1------+ (1 + ux )-ï étant intégrable s ur [O; +oo[ car
1
X
X
O ~ (l+ux)-2
~
u- 2 et- -< -l.
u--->+oo
2
On déduit : f,, (x) -----+ O.
ll OO
2) Convergence uniforme
• Puisque chaque f,, est continue sur IR et que la limite simple
est discontinue en 2 à gauche et à droite, il n'y a pas convergence uniforme sur ] - oo; 2] ni sur [2; +oo[ (cf. 5.1 .3
Remarque p. 294).
• Soit a E] - oo; 2[ fixé. On a :
VnE N*, VxE]-oo;a] ,
n
0 ~ l - f,,(x) ~
- 1,
Jn2 +na
n
et
- 1 -----+ O.
Jn2 +na
noo
• Soit b E]2; +oo[ fixé. On a :
Vn EN* , V XE [b; +oo[,
Réponse:
c.s.
• fn ~ f, où f : IR -----+ IR est définie par :
/l OO
SI X < 2
SÎ X =2
SÎ X > 2
c.u.
• fn -f--+ f sur] - oo; 2] ni sur [2; +oo[
noo
c.u.
• fn ~ f sur tout] - oo; a] (a E] - oo; 2[ fixé) et sur tout
noo
[b; +oo[ (b E]2; +oo[ fixé).
a) 1) • V x E [0; l[,
• f,, (0) = 0-----+ O.
nx" (1 - x) -----+ 0 (prépondérance)
noo
noo
2)J,. (1-~)=(1-~r ~e1
,
c.u.
donc fn -f--+ 0 sur [O; l].
noo
3)
f,, = n (x" - x"+ 1 ) dx =
-----+O.
l o
i
fol
n
O
O
(n + l)(n + 2) noo
b) Même méthode qu'en a).
2
• Pour x E]O; 1] fixé, il existe NE N - {0, 1} tel que N ~ x ,
et on a alors :
V n E N, (n ~ N => f,, (x) = 0)
C.S.
Ceci montre: fn ~ 0 sur [O; l].
noo
Comme (Vn ~ 2, llfn lloo = n 2 ),
c.u.
on a : f,, -f--+ 0 sur [O; 1].
/lOO
y
(- 1)"n 2
.f,,
0 1 2
1
X
-
-
n n
2) Vn ~ 2 , fol f,,(x)dx = (-l)"n.
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