-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> o.
0
u
C.S.
C.U.
a) Réponse : f 11 -----+ 0 sur] - 1; 1 [ ; f,, ---+--* 0
11 00
noo
c.u.
sur ] - 1; O] ni sur [O; 1 [ ; fn -----+ 0 sur tout [-a; a ],
a E [0; l[ fixé.
b) Notons
On a:
noo
• ! ,, ~
x " - 2(1 + xn - 1 t dx =
- - yn dy
i
l
i 2 1
0
y=l +xn- 1 1 n - 1
211 + 1 - 1
-
n2 - 1
•
li
1
.
li2 1
l n ~
x" (1 + xn+l )" dx =
- -z" dz
0
z= l +xn+ I 1 n + 1
2n+I - 1
= (n + 1) 2 ·
c .u.
.
.
Puisque fn -----+ f et que les fn sont continues, f est cont11100
nue (cf. 5.1.3 Coroll aire 1 p. 294).
Soit e > 0 fixé. Il existe 11 > 0 tel que :
t:
V x E X , (llx - / Il~ 11===? 11/(x) - f(l) ll ~ 2).
Puis, comme un---+ l, il existe Ni EN tel que :
noo
V n E N, (n ~ N 1 ===? llun - I ll~ 17).
Enfin, il existe N1 E N tel que: V x E X ,
t:
V n E N, (n ~ N2 ===? 11/,,(x) - f(x) ll ~ 2).
Notons N = Max(N1 , N2), et soit n E N tel que n ~ N.
On a alors O"(n) ~ n ~ N1 et r(n) ~ n ~ N2 , d'où:
llf a(n) (u r(n) ) - f(l) ll ~ ll fa(n ) (ur (n)) - f (ur (n)) Il
t:
t:
+ 11/(ur(n)) - f(l) ll ~ 2 + 2 = t: .
Finalement: fa(n)(Ur(n ))---+ f (l).
11 00
Remarquer d'abord que, pour tout (n ,x) de N x IR :
l(f,, o f,,)(x) - U o f)(x) I
~ 1 fn Un (x )) - f (f,, (x)) 1 + IJU,, (x)) - f U(x)) I .
a) Soit x E IR.
c.u.
Puisque fn - f -----+ 0 et f,,(x)-----+ f(x) d'après
noo
noo
l'exercice 5.1.13, on a :
fnUn(x)) - !Un(x )) =Un - f)U,,(x))-----+ O.
noo
D'autre part, puisque fn (x) -----+ f (x) et que f est continue
1100
(en f (x) en particulier), on a:
fU,,(x)) - fU(x)) -----+ O.
noo
On déduit Un o f,,)(x) -----+ U o f)(x) , et finalement:
1100
c.s.
f n o f n -----+ f o f.
11 00
b) Soit t: > O. Puisque f est uc sur IR, il existe 11 > 0 tel que
11 ~ t: et:
V(y ,y') E IR
2 , ( IY - /1 ~ 11 ===? lf(y) - f(y') I ~ t: ).
c.u.
Puisque fn -----+ f, il existe N E N tel que :
!lOO
"ln ~ N, Vx E IR, lf,,(x) - f(x) I ~ 11·
On a donc:
Vn ~ N, "lx E IR, IJU,,(x)) - fU(x)) I ~ t: ·
D'autre part :
"ln ~ N, "lx E IR, l f nUn (x)) - JU,,(x)) I ~ 11 ~ t: .
On a donc:
"ln ~ N , "lx E IR, lu,, o f,,)(x) - U o f)(x) I ~ 2t:,
c.u.
et finalem ent : fn o f,, -----+ f o f.
!lOO
c) Considérons, pour n E N*, fn : IR ---+ IR
x~x 2 +~
n
c.~
.
Il est clair que fn -----+ f , où f: lR ---+ JR, et que f est cont1noo
x~ x 2
nue sur JR .
On a: "ln E N*, Vx E IR,
1
1
2x2
1
l
Un ° fn) (x) - U 0 f) (x) = 2 + 4 + 2'
n
n
n
et, en particulier :
1
1
Un o fn - f o f) (n) = 2 + 4 + 2 + 0 ,
n
n noo
c.u.
donc : f,, o f,, + f o f.
!lOO
Réponse: non.
d) Réponse : on peut prendre
1
~si X= Ü
fn : X 1--+
~si (X = ~ ou X = 1)
0 sinon
Soit (x 11 )n EN une suite dans X convergeant vers un élé ment x
de X.
Puisque A = {x 11 ; n EN} U {x } estcompact (cf. l.3.1Prop. 1
c.u.
p. 58), d'après l'hypothèse,/,, IA -----+ f IA· Comme les fn IA
noo
sont continues, il en résulte que f IA est continue. En particulier, puisque Xn -----+ x dans A ,/IA (x,,) -----+ f IA (x), c'estnoo
noo
à-dire f (x,,) -----+ f (x) .
noo
Ceci montre que f est continue sur X .
0
c
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a) Réponse : f 11 -----+ 0 sur] - 1; 1 [ ; f,, ---+--* 0
11 00
noo
c.u.
sur ] - 1; O] ni sur [O; 1 [ ; fn -----+ 0 sur tout [-a; a ],
a E [0; l[ fixé.
b) Notons
On a:
noo
• ! ,, ~
x " - 2(1 + xn - 1 t dx =
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0
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l n ~
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0
z= l +xn+ I 1 n + 1
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= (n + 1) 2 ·
c .u.
.
.
Puisque fn -----+ f et que les fn sont continues, f est cont11100
nue (cf. 5.1.3 Coroll aire 1 p. 294).
Soit e > 0 fixé. Il existe 11 > 0 tel que :
t:
V x E X , (llx - / Il~ 11===? 11/(x) - f(l) ll ~ 2).
Puis, comme un---+ l, il existe Ni EN tel que :
noo
V n E N, (n ~ N 1 ===? llun - I ll~ 17).
Enfin, il existe N1 E N tel que: V x E X ,
t:
V n E N, (n ~ N2 ===? 11/,,(x) - f(x) ll ~ 2).
Notons N = Max(N1 , N2), et soit n E N tel que n ~ N.
On a alors O"(n) ~ n ~ N1 et r(n) ~ n ~ N2 , d'où:
llf a(n) (u r(n) ) - f(l) ll ~ ll fa(n ) (ur (n)) - f (ur (n)) Il
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+ 11/(ur(n)) - f(l) ll ~ 2 + 2 = t: .
Finalement: fa(n)(Ur(n ))---+ f (l).
11 00
Remarquer d'abord que, pour tout (n ,x) de N x IR :
l(f,, o f,,)(x) - U o f)(x) I
~ 1 fn Un (x )) - f (f,, (x)) 1 + IJU,, (x)) - f U(x)) I .
a) Soit x E IR.
c.u.
Puisque fn - f -----+ 0 et f,,(x)-----+ f(x) d'après
noo
noo
l'exercice 5.1.13, on a :
fnUn(x)) - !Un(x )) =Un - f)U,,(x))-----+ O.
noo
D'autre part, puisque fn (x) -----+ f (x) et que f est continue
1100
(en f (x) en particulier), on a:
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On déduit Un o f,,)(x) -----+ U o f)(x) , et finalement:
1100
c.s.
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11 00
b) Soit t: > O. Puisque f est uc sur IR, il existe 11 > 0 tel que
11 ~ t: et:
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2 , ( IY - /1 ~ 11 ===? lf(y) - f(y') I ~ t: ).
c.u.
Puisque fn -----+ f, il existe N E N tel que :
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"ln ~ N, Vx E IR, lf,,(x) - f(x) I ~ 11·
On a donc:
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D'autre part :
"ln ~ N, "lx E IR, l f nUn (x)) - JU,,(x)) I ~ 11 ~ t: .
On a donc:
"ln ~ N , "lx E IR, lu,, o f,,)(x) - U o f)(x) I ~ 2t:,
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c) Considérons, pour n E N*, fn : IR ---+ IR
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Il est clair que fn -----+ f , où f: lR ---+ JR, et que f est cont1noo
x~ x 2
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On a: "ln E N*, Vx E IR,
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Un ° fn) (x) - U 0 f) (x) = 2 + 4 + 2'
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et, en particulier :
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1
Un o fn - f o f) (n) = 2 + 4 + 2 + 0 ,
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donc : f,, o f,, + f o f.
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Réponse: non.
d) Réponse : on peut prendre
1
~si X= Ü
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~si (X = ~ ou X = 1)
0 sinon
Soit (x 11 )n EN une suite dans X convergeant vers un élé ment x
de X.
Puisque A = {x 11 ; n EN} U {x } estcompact (cf. l.3.1Prop. 1
c.u.
p. 58), d'après l'hypothèse,/,, IA -----+ f IA· Comme les fn IA
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sont continues, il en résulte que f IA est continue. En particulier, puisque Xn -----+ x dans A ,/IA (x,,) -----+ f IA (x), c'estnoo
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à-dire f (x,,) -----+ f (x) .
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