"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
D'où : V x E [0; l],
[ 1 (t - x )k
(l -x)k+ 1
lf(x)I ~ lx
k!
M dt= M (k + l )!
En notant gn : [0; 1] ----+ IR
, on a donc :
x t----+ nk xn (1 - x )k+ 1
V n E N, "lx E [0; l],
Etudier les variations de gn pour déduire :
(k+l)k+l
~
'
n
etdonc ll gnlloo----+ 0.
noo
1
a) a) Pour i E {O, ... ,n}, notons li = f1 (X - ~) , et
O~k~11
k#i
1
L ; = - ( i ) l; , polynômes d'interpolation de Lagrange.
li -
n
Le polynôme Pn = t f (~) L; convient puisque:
i=O
n
deg(Pn) ~ n
V k E {0, ... ,n},
en remarquant L ; ( ~) = { ~
si k = i
si k i- i
k
{J) On peut supposer: Vk E {O, ... ,n}, x '1- - .
n
A
Soient A le réel défini par f(x) - Pn(x) = Qn(x)--(n + l) !
(où Qn = n (X - ~) ) ,
et : cp : [O; 1] ----+ IR l'application définie par :
V t E [0; 1 ] ,
A
cp(t) = f(t) - Pn(t) - Qn(t)
.
(n + l)!
Ona:
VkE{O, ... ,n}, cp (~) =o,
Par application itérée du théorème de Rolle, on en déduit l'existence de ex E]O; 1[ te lquecp
cp
"
(n+l)!
= 1
Onconclut: A=f(n+l>(c;:).
b) a) Montrer (par récurrence sur k) :
Vk EN, "lx E [O; l] , f(kl(x) = (-ll(x -k)e- x.
D'où, pour tout (n ,x) de N x [O; l] :
lf(x) - Pn(x) I =
l
x (x _ .!.) ... ( x _ :!:.) (n + 1 - cx)e-cx 1
n
n
(n+ l )!
(n + 1 - x) 1
::::::
::::::"" (n+l)! "" n!'
{3)
1
llf - Pnlloo ~ - ----+O.
n! noo
Puisque f est continue sur le segment [O; l], f y est bornée ;
il existe M E IR+ tel que :
'Vu E [O; l], If (u) I ~ M.
Soit ê > 0 fixé. Puisque f est continue en 0, il existe 17 E]Ü; 1]
tel que: Vu E [0; 17], If (u) - f (0)1 ~ e.
Remarquer d'autre part : ( 1 - )n) n -;;;t O.
Il existe donc N E N tel que :
"ln EN,
( ] )n
(n ~ N ===} 0 ~ 1 - Jn ~ 17).
Soit alors n E N tel que n ~ N ; on a, pour tout x de [O; 1] :
lfn (x) - f (O)xl = l!ax (f (tn) - f (0)) dt 1
~ fox lf(t n) - f(O)I dt ~ fo
1
lf(t") - f(O) I dt .
Il existe N' E N tel que :
,
2M
"ln E N, (n ~ N ===} Jn ~ e).
En notant Ni = Max(N,N') , on a donc:
V n E N, V x E [0; l] ,
(n ~ N ===} lf11(x) - f(O)xl ~ 2e).
c .u.
Réponse: fn ~ g sur [O; 1], où g : [O; l] ----+ IR .
noo
X t----+ f (O)x
1 651
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En notant gn : [0; 1] ----+ IR
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Le polynôme Pn = t f (~) L; convient puisque:
i=O
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en remarquant L ; ( ~) = { ~
si k = i
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{J) On peut supposer: Vk E {O, ... ,n}, x '1- - .
n
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Soient A le réel défini par f(x) - Pn(x) = Qn(x)--(n + l) !
(où Qn = n (X - ~) ) ,
et : cp : [O; 1] ----+ IR l'application définie par :
V t E [0; 1 ] ,
A
cp(t) = f(t) - Pn(t) - Qn(t)
.
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Ona:
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Par application itérée du théorème de Rolle, on en déduit l'existence de ex E]O; 1[ te lquecp
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Onconclut: A=f(n+l>(c;:).
b) a) Montrer (par récurrence sur k) :
Vk EN, "lx E [O; l] , f(kl(x) = (-ll(x -k)e- x.
D'où, pour tout (n ,x) de N x [O; l] :
lf(x) - Pn(x) I =
l
x (x _ .!.) ... ( x _ :!:.) (n + 1 - cx)e-cx 1
n
n
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Puisque f est continue sur le segment [O; l], f y est bornée ;
il existe M E IR+ tel que :
'Vu E [O; l], If (u) I ~ M.
Soit ê > 0 fixé. Puisque f est continue en 0, il existe 17 E]Ü; 1]
tel que: Vu E [0; 17], If (u) - f (0)1 ~ e.
Remarquer d'autre part : ( 1 - )n) n -;;;t O.
Il existe donc N E N tel que :
"ln EN,
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(n ~ N ===} 0 ~ 1 - Jn ~ 17).
Soit alors n E N tel que n ~ N ; on a, pour tout x de [O; 1] :
lfn (x) - f (O)xl = l!ax (f (tn) - f (0)) dt 1
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Il existe N' E N tel que :
,
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"ln E N, (n ~ N ===} Jn ~ e).
En notant Ni = Max(N,N') , on a donc:
V n E N, V x E [0; l] ,
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Réponse: fn ~ g sur [O; 1], où g : [O; l] ----+ IR .
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