"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
650 1
Comme ll fn - flloo ~ 0 et llgn - glloo ~ 0 ,
noo
noo
on déduit l lfn © gn - f © gl loo ~ 0, c'est-à-dire:
noo
C.V.
fn©gn ~ f © g.
noo
b) Considérer l'exemple X= Y= IR,
f n : IR -----+ IC , g : IR -----+ IC ,
1
l
Xt---+X + iï
yt---+ y+ iï
et raisonner comme dans la solution de l'exercice 5.1.3 b).
Réponse : non.
Vn E N*, V x E IR ,
lf(x) I ( Jucx))
2 + ~ - lf(x)I)
lg,,(x) - lf(x)l l =
J
1
(f(x))2 + -
n
: ; ; ; ; Jucxn 2 + ~ - lf(x) I
:;;;; (ucxn 2 + ~ )- (f(x))2 = ~,
cf. Analyse MPSI exercice 1.2.30 b).
•L'application lxl
X-----+ - -
1 +x2
cp' (x) pourx E IR+ ).
a) Puisque f est continue sur [a; b), f est uc sur [a; b] d'après
le théorème de Heine.
Soit s > 0 ; il existe 17 > 0 tel que 17 :;;;; -
5
-
et :
M+l
V(x
1 ,x
11
) E [a; b] 2 ,
(1x' -x"I:;;;; 17 ==}- lf(x')-f(x" ) I:;;;; s).
Ensuite, il existe no E N* tel que b - a :;;;; 17 .
no
b-a
Notons, pour tout k de {O, ... ,no} , ak = a + k - - ;
no
ainsi, (ak )o~k~no est une subdivision de [a; b].
c.s.
Puisque fn ~ f , pour chaque k de {O, . . . ,no}, il existe
noo
Nk E N* tel que:
En notant N = Max Nk, on a donc :
O~k ~n o
Vn ~ N , Vk E {O, ... ,no}, lf,,(xk) - f(xk) I:;;;; s.
Soitx E [a ; b];ilexistek E {0, ... ,no}telquex E [xk ; Xk+J].
Alors:
•D'après l'inégalité des accroissements finis:
b-a
lfn(x) - f,,(xk) I ,s; M lx - Xk l ~ M - - :;;;; M17 :;;;; s
no
• lf,,(xk)-f(xk) I:;;;; s, carn ~ N ~ Nk
b-a
• lf(xk) - f(x) I :;;;; s , car lxk - x i :;;;; - - :;;;; 17.
no
On obtient, par l'inégalité triangulaire :
1 fn (x) - f (x) 1 :;;;; 3s .
On a prouvé:
Vs > 0, 3N E N, Vn ~ N , Vx E [a; b] ,
1 fn (x) - f (x) 1 :;;;; 3s,
C. V .
c'est-à-dire: fn ~ f.
noo
b) Examiner l'exemple f,, : IR -----+ IR.
X
X t---+ n+ ]
Réponse: non.
1) Puisque lim f = 0, il existe A E [O; +oo[ tel que :
+oo
V x E [A ; +oo[, If (x)I :;;;; 1. Ensuite, f l[O;A] e st continue
sur le compact [0; A] , donc est bornée.
On en conclut que f est bornée sur IR+ : il existe M E IR+ tel
que: V x E IR+, If (x )I :;;;; M.
2) Soit s > 0 fixé.
Puisque f ~ 0 , il existe B E [O; +oo[ tel que :
+oo
V t E [B ; +oo[,
Puisque f est continue en 0, il existe 17 > 0 tel que :
V t E [0; 17],
é
lf(t) I ~ M.
Notons
et soit n E N tel que n ~ N. Soit x E IR+ .
•Six E [17; +oo[, alors : n ~ !!_ ==}- B :;;;; n17 :;;;; nx
17
é
é
==}- lf(nx)I :;;;; - ==}- lg11(x)I :;;;; - M = s .
M
M
•Six E [O; 17], alors:
0 ~ ~ : ; ; ; ; X : ; ; ; ; 1] =}- If (~) I:;;;; ~
é
==}- lg,,(x) I:;;;; M - =s.
M
Pour x E [O; 1] fixé, la formule de Taylor avec reste intégral (cf. Analyse MPSI, 6.4.5 ou Analyse MP, 2.3.10
p. 145) donne:
k (x
l)i
lix (x f)k
f(x)= L: ~, f(i)(1)+
-,
f (k+ l)(t)dt.
i=O
l.
1
k.
Puisque f(k + l ) est continue sur le segment [0; 1 ], f (k+ l ) est
bornée : il existe M E IR+ tel que :
Vt E [0,1], lf(k+l)(t)I: ; ; ; ; M.
0
c
::J
0
(V)
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0
N
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Comme ll fn - flloo ~ 0 et llgn - glloo ~ 0 ,
noo
noo
on déduit l lfn © gn - f © gl loo ~ 0, c'est-à-dire:
noo
C.V.
fn©gn ~ f © g.
noo
b) Considérer l'exemple X= Y= IR,
f n : IR -----+ IC , g : IR -----+ IC ,
1
l
Xt---+X + iï
yt---+ y+ iï
et raisonner comme dans la solution de l'exercice 5.1.3 b).
Réponse : non.
Vn E N*, V x E IR ,
lf(x) I ( Jucx))
2 + ~ - lf(x)I)
lg,,(x) - lf(x)l l =
J
1
(f(x))2 + -
n
: ; ; ; ; Jucxn 2 + ~ - lf(x) I
:;;;; (ucxn 2 + ~ )- (f(x))2 = ~,
cf. Analyse MPSI exercice 1.2.30 b).
•L'application lxl
X-----+ - -
1 +x2
cp' (x) pourx E IR+ ).
a) Puisque f est continue sur [a; b), f est uc sur [a; b] d'après
le théorème de Heine.
Soit s > 0 ; il existe 17 > 0 tel que 17 :;;;; -
5
-
et :
M+l
V(x
1 ,x
11
) E [a; b] 2 ,
(1x' -x"I:;;;; 17 ==}- lf(x')-f(x" ) I:;;;; s).
Ensuite, il existe no E N* tel que b - a :;;;; 17 .
no
b-a
Notons, pour tout k de {O, ... ,no} , ak = a + k - - ;
no
ainsi, (ak )o~k~no est une subdivision de [a; b].
c.s.
Puisque fn ~ f , pour chaque k de {O, . . . ,no}, il existe
noo
Nk E N* tel que:
En notant N = Max Nk, on a donc :
O~k ~n o
Vn ~ N , Vk E {O, ... ,no}, lf,,(xk) - f(xk) I:;;;; s.
Soitx E [a ; b];ilexistek E {0, ... ,no}telquex E [xk ; Xk+J].
Alors:
•D'après l'inégalité des accroissements finis:
b-a
lfn(x) - f,,(xk) I ,s; M lx - Xk l ~ M - - :;;;; M17 :;;;; s
no
• lf,,(xk)-f(xk) I:;;;; s, carn ~ N ~ Nk
b-a
• lf(xk) - f(x) I :;;;; s , car lxk - x i :;;;; - - :;;;; 17.
no
On obtient, par l'inégalité triangulaire :
1 fn (x) - f (x) 1 :;;;; 3s .
On a prouvé:
Vs > 0, 3N E N, Vn ~ N , Vx E [a; b] ,
1 fn (x) - f (x) 1 :;;;; 3s,
C. V .
c'est-à-dire: fn ~ f.
noo
b) Examiner l'exemple f,, : IR -----+ IR.
X
X t---+ n+ ]
Réponse: non.
1) Puisque lim f = 0, il existe A E [O; +oo[ tel que :
+oo
V x E [A ; +oo[, If (x)I :;;;; 1. Ensuite, f l[O;A] e st continue
sur le compact [0; A] , donc est bornée.
On en conclut que f est bornée sur IR+ : il existe M E IR+ tel
que: V x E IR+, If (x )I :;;;; M.
2) Soit s > 0 fixé.
Puisque f ~ 0 , il existe B E [O; +oo[ tel que :
+oo
V t E [B ; +oo[,
Puisque f est continue en 0, il existe 17 > 0 tel que :
V t E [0; 17],
é
lf(t) I ~ M.
Notons
et soit n E N tel que n ~ N. Soit x E IR+ .
•Six E [17; +oo[, alors : n ~ !!_ ==}- B :;;;; n17 :;;;; nx
17
é
é
==}- lf(nx)I :;;;; - ==}- lg11(x)I :;;;; - M = s .
M
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•Six E [O; 17], alors:
0 ~ ~ : ; ; ; ; X : ; ; ; ; 1] =}- If (~) I:;;;; ~
é
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M
Pour x E [O; 1] fixé, la formule de Taylor avec reste intégral (cf. Analyse MPSI, 6.4.5 ou Analyse MP, 2.3.10
p. 145) donne:
k (x
l)i
lix (x f)k
f(x)= L: ~, f(i)(1)+
-,
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i=O
l.
1
k.
Puisque f(k + l ) est continue sur le segment [0; 1 ], f (k+ l ) est
bornée : il existe M E IR+ tel que :
Vt E [0,1], lf(k+l)(t)I: ; ; ; ; M.