"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
C.S.
C.V .
Réponse: ln -------+ 0 sur [O; +oo[ Jn --+-+ 0 sur [O; +oo[ ;
noo
noo
C.U.
fn ----7 0 sur tout [a; +oo[, a > 0 fixé.
noo
n
k
j) •Pour x E IR fixé, " ~----+ex, cf. Analyse MPSI, 7.2
~ k' 1100
k=O .
en remplaçant 1 par x , ou 6.5.3 1) p. 381.
• Soit n E N* ; on a: Vx E IR,
xn
l~(x) = - e - x t '
n.
d'où les variations de ln :
n pair
X
-OO
0
+oo
1
J,;(x)
0
1
+oo
1
J;, (x)
---... 1
1
---...
0
n impair
X
-OO
0
+oo
1
J,;(x)
+
0
1
-OO
0
Ainsi, ln - l n'est pas bornée sur ] - oo; 0], et d'autre part
ll Cfn - l )l [O ;+oo[lloo = 1.
• Soit (a, b) E IR 2 tel que a < 0 < b. D'après les tableaux cidessus.
Sup lln(x) - l i= Max Clln(a) - ll,ll11(b) - l i)
xe [a;bl
C.S.
C.V.
Réponse: ln -------+ 1 sur IR ;f 11 --+-+ l sur] - oo; O] ni sur
noo
noo
c.~
2
[O; +oo[ Jn -------+ 1 sur tout [a; b], pour (a,b) E IR fixé.
noo
C.V.
Puisque ln -------+ l. on a :
noo
Vs > 0, 3N E N, Vn ~ N , Vy E Y, llln(Y) - l(y) ll E !( s ,
et donc, e n particulier :
Vs > 0, 3N EN, Vn ~ N, V'x EX,
lll11(cp(x)) - l(cp(x))llE !( s,
C.V .
c'est-à-dire : ln o noo
a) Soit s > 0. Puisque g est uc sur E, il ex iste ri > 0 tel que :
V(y ,y') E E 2 ,
( lly - / llE !( 1' / ===} llg(y) - g(y')llF !( S).
C.V.
Puis, comme ln -----+ l, il existe N E N tel que :
noo
Vn ~ N, Vx EX, ll ln(X) - l(x) llE !( 17.
On a donc:
Vn EN, Vx EX, ll(g o ln)(x)-(g o f)(x) ll F !( s,
C.V.
ce qui montre : g o ln -------+ g o f.
noo
b) Considérons, pour n E N*, l n : IR ----+ IR
1
x~x+n
et g : lR ---+ lR .
Xf--->X 2
C.V.
Il est clair que ln -------+ l, où l: IR ----+ IR.
noo
x~x
On a: Vn E N*, Vx E IR,
lcg o ln)(x) - (g o ncx) I = 1 (x + ~)2 -x
2
i
= 12x + __!__ I·
n
n2
En particulier :
VnEN*, l (g o l11 -g o f)(n) l= 2+~+o,
n noo
C.V.
ce qui montre : g o 1 11 --+-+ g o f.
noo
Réponse: non.
a) On a, pour tout (n,x,y) de N x X x Y:
ICfn © gn)(x,y) - Cf© g)(x,y)I
= l f,,(x)gn(Y) - l(x)g(y)I
= l(!nCx) - l(x))gn(Y) + l(x) ( gn(Y) - g(y))I
!( lln(x) - l(x) l lgn(Y)I + ll(x)l lgn(x) - g(y)I.
C.V.
C.V .
2
Comme ln -----+ l et gn -----+ g, il existe (N 1 N2) E N
tel que:
1100
noo
{
Vn ~ Ni , ln - l E B(X; C)
Vn ~ N1 , g 11 - g E B(Y; C) .
Notons N = Max(N, , N1). Soit n E N tel que n ~ N ; alors
J,, - let g 11 - g sont bornées, donc, comme let g sont bornées, ln et gn le sont aussi, et le calcu l précédent montre que
l n © gn - l © g est bornée et :
llln © gn - l © glloo
!( llln - l lloo llg,, lloo + llllloollg,. - glloo
!( llln - l lloo ( llgn - glloo + llglloo)
+llllloollgn - glloo·
1 649
0
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Réponse: ln -------+ 0 sur [O; +oo[ Jn --+-+ 0 sur [O; +oo[ ;
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j) •Pour x E IR fixé, " ~----+ex, cf. Analyse MPSI, 7.2
~ k' 1100
k=O .
en remplaçant 1 par x , ou 6.5.3 1) p. 381.
• Soit n E N* ; on a: Vx E IR,
xn
l~(x) = - e - x t '
n.
d'où les variations de ln :
n pair
X
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0
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1
J,;(x)
0
1
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Ainsi, ln - l n'est pas bornée sur ] - oo; 0], et d'autre part
ll Cfn - l )l [O ;+oo[lloo = 1.
• Soit (a, b) E IR 2 tel que a < 0 < b. D'après les tableaux cidessus.
Sup lln(x) - l i= Max Clln(a) - ll,ll11(b) - l i)
xe [a;bl
C.S.
C.V.
Réponse: ln -------+ 1 sur IR ;f 11 --+-+ l sur] - oo; O] ni sur
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Puisque ln -------+ l. on a :
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Vs > 0, 3N E N, Vn ~ N , Vy E Y, llln(Y) - l(y) ll E !( s ,
et donc, e n particulier :
Vs > 0, 3N EN, Vn ~ N, V'x EX,
lll11(cp(x)) - l(cp(x))llE !( s,
C.V .
c'est-à-dire : ln o noo
a) Soit s > 0. Puisque g est uc sur E, il ex iste ri > 0 tel que :
V(y ,y') E E 2 ,
( lly - / llE !( 1' / ===} llg(y) - g(y')llF !( S).
C.V.
Puis, comme ln -----+ l, il existe N E N tel que :
noo
Vn ~ N, Vx EX, ll ln(X) - l(x) llE !( 17.
On a donc:
Vn EN, Vx EX, ll(g o ln)(x)-(g o f)(x) ll F !( s,
C.V.
ce qui montre : g o ln -------+ g o f.
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b) Considérons, pour n E N*, l n : IR ----+ IR
1
x~x+n
et g : lR ---+ lR .
Xf--->X 2
C.V.
Il est clair que ln -------+ l, où l: IR ----+ IR.
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x~x
On a: Vn E N*, Vx E IR,
lcg o ln)(x) - (g o ncx) I = 1 (x + ~)2 -x
2
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= 12x + __!__ I·
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En particulier :
VnEN*, l (g o l11 -g o f)(n) l= 2+~+o,
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C.V.
ce qui montre : g o 1 11 --+-+ g o f.
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Réponse: non.
a) On a, pour tout (n,x,y) de N x X x Y:
ICfn © gn)(x,y) - Cf© g)(x,y)I
= l f,,(x)gn(Y) - l(x)g(y)I
= l(!nCx) - l(x))gn(Y) + l(x) ( gn(Y) - g(y))I
!( lln(x) - l(x) l lgn(Y)I + ll(x)l lgn(x) - g(y)I.
C.V.
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2
Comme ln -----+ l et gn -----+ g, il existe (N 1 N2) E N
tel que:
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Vn ~ Ni , ln - l E B(X; C)
Vn ~ N1 , g 11 - g E B(Y; C) .
Notons N = Max(N, , N1). Soit n E N tel que n ~ N ; alors
J,, - let g 11 - g sont bornées, donc, comme let g sont bornées, ln et gn le sont aussi, et le calcu l précédent montre que
l n © gn - l © g est bornée et :
llln © gn - l © glloo
!( llln - l lloo llg,, lloo + llllloollg,. - glloo
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