-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
•Soit k E {0, ... , p - l}. Par linéarisation de x t----+ cosk x, il
existe (Ak,O·· .. ,Ak,k) E IRk+
1 tel que:
k
Vx E IR, colx = LAk,i cosix.
i=O
On a alors:
*(- l)ncoskn
k
cos(i+n)n
Vn E N ,
(k+l)a
= L Ak,i ----,---::-n
i= O
n(k+l )a
Pour k E {0, ... , p} et i E {O, ... ,k},
'"' cos(i + rr )n
la série L.., n n;;, 1
cari +n fj.2n'll (rr fj.Q).
Chapitl-4e 5
1
a)• Pour x -j. 0 fixé, j,,(x) ~ - ---+O.
noo nx noo
• V a > 0, V x E IR,
1
1
(lxl ~ a==} lfn (x) I ~ -
~ -).
n lx l
na
c.s.
c.u.
Réponse : !11 ~ 0 sur IR ; fn ~ 0 sur tout
1100
noo
c.u.
] - oo; -a] U [a; +oo[ pour a > 0 fixé ; f 11 ~ 0 sur IR .
n.oo
b) •Pour x -1- 0 fixé, fn(X)---+ x; etfn(O)-+ O.
noo
1100
lxl
• 'VxEIR, lf,,(x)-x l =
2
.
1 +nx
1
lx l
1
On a: l lxl ~ Jn ==} 1 + nx2 ~ lx l ~ Jn
1
lxl
1
1
lxl ~ -
==}
~ -
~ - ,
Jn
1 + nx2
nlxl
Jn
1
d'où Sup lfn(x)-xl ~ '-"
xEIR
.yn
On peut aussi étudier les variations de
lx l
x t----+ lf,,(x) - x i=
2
.
1 +nx
c.u.
Réponse : J,, ~ f où f : IR ---+ IR .
n OO
X t----+ X
C.S.
C.U.
c) Réponse: !11 ~ 0 sur IR ;fn ~ 0 sur IR;
noo
noo
c.u.
J, 1 ~ 0 sur tout [a ; +oo[,a E IR fixé.
noo
c.s.
d) Réponse : fn ~ f où f : IR+ ---+ IR est définie
noo
1
-1
par: f(x) =
~
Si 0 ~X< 1
Si X= 1
si X> 1
c.u.
fn ~ fsur IR+;
noo
C.U.
fn ~ f sur tout [0; a] U [b ; +oo[,
noo
(a,b) E IR
2 fixé tel que 0 ~a < 1 < b.
c.s.
e) Réponse : fn ~ f où f : [O; 1] ---+ IR est définie par
1100
{
1 Si 0 ~ X < J
C.U.
f(x) =
; fn ~ f sur [0; 1] ;
0 Si X= J
1100
c.u.
fn ~ f sur tout [O; a], a E [O; 1 [ fixé.
11 00
c.s.
c.u.
f) Réponse : fn ~ 0 sur IR+ ; .fn ~ 0 sur IR+
noo
noo
c.u.
fn ~ 0 sur tout [O; a] , a E IR+ fixé.
noo
g) • Pour x E IR+ fixé, effectuer un développement asymptotique (lorsque n ---+ oo) :
fn(X) =sin (2rrn (1 + +i) ~)- _ _ : : _ _ _
4rr n
4nn
=sin (2rrn + __::___ + o (~))- __::___ = o (~) .
4nn
n
4nn
n
• fn(12rr 2 n 2 ) = -3nn.
• Soit a E IR+ ; on a, pour tout x de [0; a] et tout n de N* :
l/11 (x) I = lsin( J x + 4rr
2 n
2 - 2nn ) - 4
;n 1
= lsin(Jx+4rr ;n2+ 2rrn)- 4;n l
X
X
a
~
+-~-.
Jx+ 4n2n2+2nn
4nn
2nn
c.s.
c.u.
Réponse : fn ~ 0 sur IR+ ; fn ~ 0 sur IR+ ;
1100
noo
c.u.
J,, ~ 0 sur tout [O; a], a E IR+ fixé.
1100
C.S.
C.U.
h) Réponse : f, 1 ~ 0 sur [0; 2] ; .fn ~ 0 sur [0; l] ni
noo
noo
c.~
2
sur [l ; 2] ;fn ~ 0 sur tout [a; b], (a,b) E IR fixé tel que
1100
0 i) • Soit x E IR fixé
on a fn(x)-+0 si x ~ 0 , et
1100
fn(x)-+ +oo six < O.
noo
• limfn = n.
Q+
• Soit a > 0 fixé. On a, pour tout n de N* et x de [a; +oo[ :
f,
1
1
2 -nx
1
1
1 "(x) = - (nx) e
2
~ -rp(nx)
2
,
n
(1 - e-X)
n
(1 _ e-x)
où t t----+ t 2 e-r
sont bornées sur [a ; +oo[.