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0
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0
(V)
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0
N
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.......
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O'l
·;::::
>0..
0
u
q-l
q-l
+ L (u k - uk+ 1 )ap,k
k= p+2
= Uq Œp,q + L (U k - Uk+ l )Œp,k,
k= p+ l
en remarquant vp+ I = a p,p+I ·
Noter l'analogie du résultat de ce J ) avec l'intégration par parties.
2) On va montrer que L Un Vn satisfait la CNS de Cauchy de
n ~O
convergence d'une série à termes dans un evn complet (cf. 4.3. l
Th. p. 24 3). On reprend les notations de J ).
Soit (p ,q ) E N 2 tel que q ~ p + 1. On a:
• llu qap,qll = u q ll a p,q ll ~ u q M.
q- l
q- 1
L (u k - u k+ i )ap ,k ~ L (u k - uk+I) llap,kll
k= p+I
k= p+ I
q - l
::::;; M L (u k - u k+ I ) = (u p+ I - u q) M.
k= p+ l
q
D'après 1), il en résulte:
L Uk Vk ~ u 1 , + 1 M.
k= p+ l
Soit s > 0 fi xé. Puisque Un ~ 0, il existe N E N tel que:
noo
'rln E N, (n ~ N ~Un ~ -
8
- ) .
M + 1
On a alors :
'rl( p ,q ) EN,
D'après 4.3. l Th. p. 243, on conclut que L Un v,, converge
n ~ O
dans E.
1
.
3) a) Appliquer le théorème d'Abel à u,, = - et Vn = e
1
n
1
, en
n a
remarquant :
'r/n E N,
. n + 1
1
t eikt1 = 11 - èn~ l )t 1 = Stn ~ t
k=O
l - ell
sm -
2
~ - l 1 1 ·
sin ~
b) J ) Former un développement asymptotique :
- - - - - - =
+ o -
(- 1)". cos n
(- l)n cos n
( 1)
n + (- l)n sinn
n
n2
_ cos(rr + l )n
(_!_)
-
+o 2 .
n
n
' °"' cos(rr + l)n
D'après a), L.,
converge.
n~ l
n
Réponse : converge.
2J
= -
+ o -
.
sin n
sin n
( 1 )
n - Jn sin n
n
n 3/ 2
Réponse : converge.
_ sin(n v'2)sin(en)
(-1 -)
-
+ 0 3/2
n
n
= cos(e - v'2)n _ cos(e + v'2)n + 0 (-1 - ) .
2n
2n
n 3/ 2
Il est clair que e - v'2 et e + v'2 , qui sont dans ]O; 2rr [ , en
sont pas multiples de 2rr.
On peut alors appliquer a).
Réponse : converge.
4) Il existe p E N* tel que (2p + l)a > 1.
sinn
Comme - - ~ 0, on obtient un développement asympn a
11 00
totique :
. ( sinn)
~ (- l)k ( sinn)
2
k+ l
sm - - = L.,
- -
n a
k=O (2k + l )! n a
• Soit k E {0, .. . ,p - l }.
Par linéarisation de x 1---+ (sin x )2k+ l ,
il existe (A k ,O• · . . , A k ,k) E JRk+ I tel que:
k
'rlx E JR, (sin x) 2 k+ I = LAk,i sin(2i + l)x .
i = Ü
Pour k E {0 , ... , p - l} et i E {0 , ... ,k},
' °"' sin(2i + l )n
la série L., n )a
converge d'après a) .
n ~ I
•Puisque (2 p + l)a > l , la série L 0 (n(lp~lla) est abn ~ I
solument convergente.
Réponse : converge.
5) Il existe p E N* tel que (p + l)a > 1.
Un développement asymptotique donne :
( 1)
11
p- I
(-l )n coskn
(
1 )
-
= 2=< - 1 > k
o
n a + cos n
k=O
n < k+ l )a
+
n 1 647