"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
4) Le cas p = + oo a déj à été vu (cf. P 2. 1 1) p. 152), puisque
R
00 = B (N, IC) .
Nous supposons do nc: p E [1 ; +oo[.
So it (U
111
) 111 EN une suite de Cauchy dans f P ; pour chaque m
de N , notons (u~')n EN = U
111
•
So it e > 0 fi xé. Puisque (U
111
) 111 EN est de Cauchy dans f P, il
existe mo E N tel que :
2
V(r,s) EN ,
( { r ): mo ==> ~ lu~ - u~I" = ll Ur - u s11 g ~ e).
s ): mo
n=O
Soit n E N. On a :
2
V(r,s) EN ,
do nc (u~')m EN est de Cauchy dans C . Comme C est complet, il existe Yn E C tel que: u;;• ----'? Yn ·
On a, pour tout N de N :
2
V(r,s) E N ,
JIJOO
En fixant r et en faisant tendres vers l'infi ni, on déduit :
Vr EN,
( r ); mo ==> talu~-Yn l"~e).
En particulier, d'après le lemme de majoration pour les séries
à ternies ): 0 , la série L 1u~•o+
1 - Yn 1" converge, et donc,
n;;.O
en notant y = (Yn)nEN : U
111 o+ I - y E f_fJ .
Comme f P est un sev de N, o n conclut : y E R".
De plus, o n obtient :
Ve > 0, 3mo E N, Vm E N,
( m > mo ==> llU
111
-
yll~ = ~ lu~' - Yn l" ~ e) ,
n=O
ce qui montre U
111 ------'? y dans f_fJ .
111 00
Finalement, l" est complet.
2
1 2
2
l )a) •Remarquer : V(a,{J) E (IR+) , a{J ~ 2(a +fJ ).
La convergence de L lu 11 I lvn l résulte alors de celles de
n. ;;.O
L lun. 1
2 et L lv,,1
2 .
n. ;;.O
n;;.O
• Dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
faire tendre N vers l'infini.
b) Les vérifications sont immédiates.
2) Cf. P 4.5 4) p. 285.
3) Il est clair que: Vk E N, ek E t. 2 .
+oo
• "ln E N,< e,,, u > = L ÔnpUp = u,,
p=Ü
+oo
L:
2
lun. 1 ------'? 0 ,
n=N+ l
Noo
do nc L < e 11 ,u > en converge, dans (l 2 , ll · 112), vers u.
n;;.O
4)a) •D'abord , pour to utu = (u 11 )nEN de f. 2 , (~) E t. 2
n + 1 n
1
Un 1
2
2
car - - ~ lun.I .
n+ l
• La linéarité de f est évidente.
• Vu = (un)n. EN E t. 2 ,
+ oo 1 u 12 +oo
l l f(u) ll~ = L _ n ~ L lu,, 1
2 = llu ll~ .
n+ l
n=O
n=O
Finalem ent: f E 1X(f 2 ) .
b) O n a, pour tous u = (un)n, V= (vn)n de e
2 :
< f(u) ,v >
+oo u;;+oo _
v,,
= l: --v,, = L Un -n=O n + l
n=Ü
n + 1
= < u,f(v) > ,
ce qui montre quef admet un adjoint et q uef* = f(on dit que
f est auto-adjoint).
c) • Ker(f) = {(u,,) 11 E R 2 ; "ln E N,~ = 0) = {0},
n + l
donc (Ker(f)).l = {0} .l = e 2 .
• Considérons e = ( -
1
- )
. JI est cla ir que e E f 2 . S i
n + 1 nEN
ê E lm(f), a lo rs il ex i s t e u = (u 11 ) 11 EN E f.
2 t e ll e qu e
e = f (u) = (~) , d'où (Vn E N, u,, = 1). Mais alors
n + l n
L lu,, 1 2 diverge, contradictio n.
n;;.O
Ceci mo ntre : e
q
q
1) L
UkVk = up+ I vp+ I + L Uk(ap,k - ap,k- 1)
k=p+ I
k=p+2
q
q - 1
= up+ I vp+ I + L u kap,k - L uk+ I ap,k
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Nous supposons do nc: p E [1 ; +oo[.
So it (U
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) 111 EN une suite de Cauchy dans f P ; pour chaque m
de N , notons (u~')n EN = U
111
•
So it e > 0 fi xé. Puisque (U
111
) 111 EN est de Cauchy dans f P, il
existe mo E N tel que :
2
V(r,s) EN ,
( { r ): mo ==> ~ lu~ - u~I" = ll Ur - u s11 g ~ e).
s ): mo
n=O
Soit n E N. On a :
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V(r,s) EN ,
do nc (u~')m EN est de Cauchy dans C . Comme C est complet, il existe Yn E C tel que: u;;• ----'? Yn ·
On a, pour tout N de N :
2
V(r,s) E N ,
JIJOO
En fixant r et en faisant tendres vers l'infi ni, on déduit :
Vr EN,
( r ); mo ==> talu~-Yn l"~e).
En particulier, d'après le lemme de majoration pour les séries
à ternies ): 0 , la série L 1u~•o+
1 - Yn 1" converge, et donc,
n;;.O
en notant y = (Yn)nEN : U
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Comme f P est un sev de N, o n conclut : y E R".
De plus, o n obtient :
Ve > 0, 3mo E N, Vm E N,
( m > mo ==> llU
111
-
yll~ = ~ lu~' - Yn l" ~ e) ,
n=O
ce qui montre U
111 ------'? y dans f_fJ .
111 00
Finalement, l" est complet.
2
1 2
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l )a) •Remarquer : V(a,{J) E (IR+) , a{J ~ 2(a +fJ ).
La convergence de L lu 11 I lvn l résulte alors de celles de
n. ;;.O
L lun. 1
2 et L lv,,1
2 .
n. ;;.O
n;;.O
• Dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
faire tendre N vers l'infini.
b) Les vérifications sont immédiates.
2) Cf. P 4.5 4) p. 285.
3) Il est clair que: Vk E N, ek E t. 2 .
+oo
• "ln E N,< e,,, u > = L ÔnpUp = u,,
p=Ü
+oo
L:
2
lun. 1 ------'? 0 ,
n=N+ l
Noo
do nc L < e 11 ,u > en converge, dans (l 2 , ll · 112), vers u.
n;;.O
4)a) •D'abord , pour to utu = (u 11 )nEN de f. 2 , (~) E t. 2
n + 1 n
1
Un 1
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car - - ~ lun.I .
n+ l
• La linéarité de f est évidente.
• Vu = (un)n. EN E t. 2 ,
+ oo 1 u 12 +oo
l l f(u) ll~ = L _ n ~ L lu,, 1
2 = llu ll~ .
n+ l
n=O
n=O
Finalem ent: f E 1X(f 2 ) .
b) O n a, pour tous u = (un)n, V= (vn)n de e
2 :
< f(u) ,v >
+oo u;;+oo _
v,,
= l: --v,, = L Un -n=O n + l
n=Ü
n + 1
= < u,f(v) > ,
ce qui montre quef admet un adjoint et q uef* = f(on dit que
f est auto-adjoint).
c) • Ker(f) = {(u,,) 11 E R 2 ; "ln E N,~ = 0) = {0},
n + l
donc (Ker(f)).l = {0} .l = e 2 .
• Considérons e = ( -
1
- )
. JI est cla ir que e E f 2 . S i
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ê E lm(f), a lo rs il ex i s t e u = (u 11 ) 11 EN E f.
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L lu,, 1 2 diverge, contradictio n.
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