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0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
1) a) a ) D'après l'exercice l. l.8 b) p. 10, on a :
'VN EN,
N
N
!
N
!
1
~ lun l lvnl ~ (,~ lun lp) ,, (?; lvn lq) q
~ llullp ll vllq·
Le lemme de majoration pour les séries à termes ~ 0 permet
de déduire que L lun Vn 1 converge et:
n;;,O
+oo
L lunv11I ~ llullpllvllq·
n=O
D'après 4.3.2 p. 244, on conclut que L Un Vn est absolume nt
n;;,O
convergente et :
l~UnVn l ~ ~lunVn l ~ llullpll vllq·
f3) D'après l'exercice 1.1.8 c) p. 10, on a:
V N EN,
N
N
!
N
! p
I; lun+vn lp ~ ((?; lu11 IP)
1
' + (?;lvnlp) P)
~ C llullp + llvllp)P.
Le lemme de majoration pour les séries à termes ~ 0 montre
alors que L lu 11 + v 11 IP converge (donc u + v E f_P ) et:
11 ;;,0
+oo
llu + v ll ~ = L lup + Vn lp ~ (llullp + llvllp)P.
n=O
Les propriétés eP # 0 et (V À E
b) Les conditions (llullp = 0 ====} u = 0)
et llÀullp = IÀI llullp sont immédiates; l'inégalité triangulaire a été vue en a) {3).
2). Si u = (un)neN E e
1 et V = (vn)neN E e
1 , alors
L 1 Un1 et L 1 v,, I convergent, donc L 1 u,, + v 11 1 converge
n;;,O
11 ;;,0
n;;,O
(d'où u + VE e 1 ) et:
+oo
+oo
+oo
llu + vllJ = L lun + v,.I ~ L lu,.I + L ll v,. I
n=O
n=O
n=O
= llull 1 + ll vll 1• Si u = (u11)11EN E e
00
et
V = (vn) neN E e
00
'
alors
U +VE e oo et :
llu + vlloo = Sup lun + v,. I ~ Sup lunl + Sup lvn l
nEN
nEN
nEN
= llulloo + llvlloo·
Les autres conditions définissant la notion de norme sont facilement vérifiées.
3) a) Soient Pl E [l ; +oo[ , u = (un )neN E eP i . Puisque
L lunlp 1 converge, u 11 ----7 O.
n;;,O
noo
En particulier, (u 11 ) 11 eN est bornée, c'est-à-dire u E e
00 .
On a donc déj à eP1 c e
00 .
Puis, si P2 # oo :
Vn EN, lu11 IP 2 = lunlp 1 lun lPi- Pi
~ 1 u,, IP1 (llulloo)Pi-P1'
donc u E f,Pl , et de plus : llullp 2 ~ llullp 1 (llulloo)P i-Pi .
b) •D'après a),
LJ eP C e
00
.
pE(l:+oo(
• La suite co nstante ( 1) est dans e
00 et dans aucun des
e P ( p E [1 ; + oo[), puisque son terme général ne tend pas
vers O.
•On a même
LJ eP # co (où co désigne l'ensemble des
pE(l;+oo(
suites c omplexe s convergeant ve rs 0), en c onsidérant
Cn(n +\ ) + 1) neN .
Réponse : non.
c ) •D'après a) , on a déjà: Vp E [1 ; +oo], u E f,P .
+oo
!
•Co mme: Vn E N , lunl ~ ( L lumlp) ,, = llullp,
m=O
on déduit: llulloo ~ llullp·
• Soit t: > 0 fi xé . Pui sque u E e
1 , il exi ste no E N te l
+oo
6
que: L lu,, I ~ 2
.
n=no+I
On a alors : ( ~ lu,. IP) t <; Ï: lu,, I <; i
11 =110+ 1
11= 110+ 1
D 'après l'exercice 1.1 .8 d) p. lO:
------+ M ax lunl ~ llulloo·
p-'>+oo 0,;;11 ,;;110
Il existe donc PO E [l ; +oo[ tel que:
'Vp E [l ; +oo[,
(
(
11
0
) f,
6 )
P ~ PO===} ?; lunlp ~llulloo+ 2 ·
En notant v, w les suites défini es par :
Vn = {
U n
0
Wn = { O
u,,
sin ~ no
sin ~ no + 1 '
sin ~ no
sin ~ no + 1 '
il est clair que : V E el , W E e I , U = V + W.
D'où, pour tout p de [1 ; +oo[ tel que p ~ PO :
llullp = ll v + wllp ~ ll vllp + ll wllp ~ llulloo + t: .
On a montré:
Vs > 0, 3p 0 E [l ; +oo[, Vp E [l ; +oo[,
(p ~ PO====} llulloo ~ llullp ~ llulloo + t:) ,
et finalement:
llullp------+ llulloo -
P-'>+oo
1 645
0
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de déduire que L lun Vn 1 converge et:
n;;,O
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n=O
D'après 4.3.2 p. 244, on conclut que L Un Vn est absolume nt
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convergente et :
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f3) D'après l'exercice 1.1.8 c) p. 10, on a:
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Le lemme de majoration pour les séries à termes ~ 0 montre
alors que L lu 11 + v 11 IP converge (donc u + v E f_P ) et:
11 ;;,0
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llu + v ll ~ = L lup + Vn lp ~ (llullp + llvllp)P.
n=O
Les propriétés eP # 0 et (V À E
b) Les conditions (llullp = 0 ====} u = 0)
et llÀullp = IÀI llullp sont immédiates; l'inégalité triangulaire a été vue en a) {3).
2). Si u = (un)neN E e
1 et V = (vn)neN E e
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L 1 Un1 et L 1 v,, I convergent, donc L 1 u,, + v 11 1 converge
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(d'où u + VE e 1 ) et:
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00
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llu + vlloo = Sup lun + v,. I ~ Sup lunl + Sup lvn l
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= llulloo + llvlloo·
Les autres conditions définissant la notion de norme sont facilement vérifiées.
3) a) Soient Pl E [l ; +oo[ , u = (un )neN E eP i . Puisque
L lunlp 1 converge, u 11 ----7 O.
n;;,O
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En particulier, (u 11 ) 11 eN est bornée, c'est-à-dire u E e
00 .
On a donc déj à eP1 c e
00 .
Puis, si P2 # oo :
Vn EN, lu11 IP 2 = lunlp 1 lun lPi- Pi
~ 1 u,, IP1 (llulloo)Pi-P1'
donc u E f,Pl , et de plus : llullp 2 ~ llullp 1 (llulloo)P i-Pi .
b) •D'après a),
LJ eP C e
00
.
pE(l:+oo(
• La suite co nstante ( 1) est dans e
00 et dans aucun des
e P ( p E [1 ; + oo[), puisque son terme général ne tend pas
vers O.
•On a même
LJ eP # co (où co désigne l'ensemble des
pE(l;+oo(
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Cn(n +\ ) + 1) neN .
Réponse : non.
c ) •D'après a) , on a déjà: Vp E [1 ; +oo], u E f,P .
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•Co mme: Vn E N , lunl ~ ( L lumlp) ,, = llullp,
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on déduit: llulloo ~ llullp·
• Soit t: > 0 fi xé . Pui sque u E e
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que: L lu,, I ~ 2
.
n=no+I
On a alors : ( ~ lu,. IP) t <; Ï: lu,, I <; i
11 =110+ 1
11= 110+ 1
D 'après l'exercice 1.1 .8 d) p. lO:
------+ M ax lunl ~ llulloo·
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Il existe donc PO E [l ; +oo[ tel que:
'Vp E [l ; +oo[,
(
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11
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) f,
6 )
P ~ PO===} ?; lunlp ~llulloo+ 2 ·
En notant v, w les suites défini es par :
Vn = {
U n
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Wn = { O
u,,
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sin ~ no
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il est clair que : V E el , W E e I , U = V + W.
D'où, pour tout p de [1 ; +oo[ tel que p ~ PO :
llullp = ll v + wllp ~ ll vllp + ll wllp ~ llulloo + t: .
On a montré:
Vs > 0, 3p 0 E [l ; +oo[, Vp E [l ; +oo[,
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et finalement:
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