-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
TI (1 + lunl) converge(cf.3Ja))etdonc la suite (Q,,),, ) O est
n) O
de Cauchy dans C (et même IR). Il existe alors N E N tel que :
Vp EN, Vr EN*, (p ~ N ===:} IQp+r - Qpl ~ t:).
Soit (p,r) E N x N* ; on a:
p
p
D'une part: IPp l =TI Il+ Uk l ~ TI (1 + luk l) = Q p.
k=O
k=O
p+r
D'autre part, en développant TI (1 + uk) et en simplifiant
k=p+1
le terme valant 1, on voit :
p+r
p+r
TI (1 + Uk) - 1 ~ TI O+lukl)- 1.
k=p+ I
k=p+I
On déduit donc :
V p E N, V r E N*,
(p ~ N ===:} IPp+r - Pp l ~ IQp+r - Qpl ~ ë).
Ceci montre que (Pn)n ) O est de Cauchy dans C, donc converge.
Montrer de plus que la limite est =f:. 0. Finalement, le produit
infini TI (1 + u,,) converge.
n ) Ü
lan l(a,, - z)
b) Pour n EN, notons u,, =
_
- 1 ; on obtient faa,,(l - anz)
cilement:
lun I = (l _ la,, 1) lan + la~z l .
lanl Il - a,,zl
D'une part: la ,,+ lanlzl ~ la,, I + la,,I lz l ~ 2 ;
d'autre part :
lan l 11 -a,,z l ~ lanl(l - la,,I lzl) ~ 1 - lzl > O.
noo
.
. ( la,, + la,, lzl )
,
Ceci montre que la smte
est bornee.
lanl Il - anzl nEN
Comme L (1 - lan 1) converge, on en déduit la convergence
11 ) 0
de L lu,, 1. En particulier, il existe N E N tel que :
n) O
Vn ~ N, lu,, 1 < l.
D'après a), on conclut que le produit infinj
TI
la11l(a11 - z)
_
converge.
l1 ) N a,,(1 -a,,z)
5) a) • D'après 2), TI (1 + u,,) est de même nature que
(
(-l)n - 1)
L ln 1 + Jn . Un développement asymptotique est :
n ) l
(
(-1)
11
-1) _ (-1 )
11
-1 _ _.!.._ (-1 -)
ln 1 +
r.;
-
r.;
+ 0
312
,
.yn
.yn
2n
n
(
(- l)n - 1)
et montre que L ln 1 + Jn diverge.
11 ) 1
(-1)11-l
•La convergence de L jïï résulte du TSCSA (cf. 4.3.5
n ) l
· n
Théorème p. 250).
b) •D'après 2), le produit infini TI (1 + u,,) est de même na11 ) 1
ture que la série Lln(l +Un). En notant v,, = ln(l + u,,) ,
11) 1
nous allons étudier la nature de L v,, en groupant les termes
n) I
consécutifs deux par deux.
Déjà,vn ~ 0.
1100
Et: v2p + v2p+ I = ln((l + u2p)(l + u2p+ I ))
= ln ( l +o:p),
où
-o -
(
1 )
- poo p 3/ 2 ·
On en déduit que L ap converge,
p) I
puis que L ( v2p + v2p+ 1) converge,
p ) l
et enfin que TI ( 1 +un) converge.
11 ) !
•De même, on montre, par groupement de deux termes consécutifs, que L u 11 diverge.
n) l
6) Il s'agit d'exemples de produits télescopiques, analogues multiplicatifs des séries télescopiques (cf. 4.3.8 1) b) p. 262). Calculer
N
N
un produit partiel TI (ou TI ), s implifier, puis faire tendre N
vers +oo .
Par exemple :
11=2
11=1
N n3-l
N (n -1 )(n 2 +n+l)
ll n 3 + 1 = Il (n + l )(n 2 - n + 1)
en remarquant:
= ( fr ~) ( fr n~ ~ n + 1)
n=2 n + 1 n=2 n n + 1
1. 2
N(N + 1)
N 2 +N + 1
22 - 2 + 1 ,
Vn E N, n 2 + n + 1 = (n + 1 ) 2 - (n + 1) + 1.
,
2
Reponses : a) J b) ,J2.
0
c
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Vp EN, Vr EN*, (p ~ N ===:} IQp+r - Qpl ~ t:).
Soit (p,r) E N x N* ; on a:
p
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D'une part: IPp l =TI Il+ Uk l ~ TI (1 + luk l) = Q p.
k=O
k=O
p+r
D'autre part, en développant TI (1 + uk) et en simplifiant
k=p+1
le terme valant 1, on voit :
p+r
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TI (1 + Uk) - 1 ~ TI O+lukl)- 1.
k=p+ I
k=p+I
On déduit donc :
V p E N, V r E N*,
(p ~ N ===:} IPp+r - Pp l ~ IQp+r - Qpl ~ ë).
Ceci montre que (Pn)n ) O est de Cauchy dans C, donc converge.
Montrer de plus que la limite est =f:. 0. Finalement, le produit
infini TI (1 + u,,) converge.
n ) Ü
lan l(a,, - z)
b) Pour n EN, notons u,, =
_
- 1 ; on obtient faa,,(l - anz)
cilement:
lun I = (l _ la,, 1) lan + la~z l .
lanl Il - a,,zl
D'une part: la ,,+ lanlzl ~ la,, I + la,,I lz l ~ 2 ;
d'autre part :
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,
Ceci montre que la smte
est bornee.
lanl Il - anzl nEN
Comme L (1 - lan 1) converge, on en déduit la convergence
11 ) 0
de L lu,, 1. En particulier, il existe N E N tel que :
n) O
Vn ~ N, lu,, 1 < l.
D'après a), on conclut que le produit infinj
TI
la11l(a11 - z)
_
converge.
l1 ) N a,,(1 -a,,z)
5) a) • D'après 2), TI (1 + u,,) est de même nature que
(
(-l)n - 1)
L ln 1 + Jn . Un développement asymptotique est :
n ) l
(
(-1)
11
-1) _ (-1 )
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ln 1 +
r.;
-
r.;
+ 0
312
,
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n
(
(- l)n - 1)
et montre que L ln 1 + Jn diverge.
11 ) 1
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•La convergence de L jïï résulte du TSCSA (cf. 4.3.5
n ) l
· n
Théorème p. 250).
b) •D'après 2), le produit infini TI (1 + u,,) est de même na11 ) 1
ture que la série Lln(l +Un). En notant v,, = ln(l + u,,) ,
11) 1
nous allons étudier la nature de L v,, en groupant les termes
n) I
consécutifs deux par deux.
Déjà,vn ~ 0.
1100
Et: v2p + v2p+ I = ln((l + u2p)(l + u2p+ I ))
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où
-o -
(
1 )
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On en déduit que L ap converge,
p) I
puis que L ( v2p + v2p+ 1) converge,
p ) l
et enfin que TI ( 1 +un) converge.
11 ) !
•De même, on montre, par groupement de deux termes consécutifs, que L u 11 diverge.
n) l
6) Il s'agit d'exemples de produits télescopiques, analogues multiplicatifs des séries télescopiques (cf. 4.3.8 1) b) p. 262). Calculer
N
N
un produit partiel TI (ou TI ), s implifier, puis faire tendre N
vers +oo .
Par exemple :
11=2
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N n3-l
N (n -1 )(n 2 +n+l)
ll n 3 + 1 = Il (n + l )(n 2 - n + 1)
en remarquant:
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n=2 n + 1 n=2 n n + 1
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Reponses : a) J b) ,J2.