-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
Remarquer:
\:lx E IR+ . 0 ~ x
2 - (E(x))2 ~ x + E(x) ~ 2x,
d'où:
1
lfn _ t. µ,(k) 1 ~ ~ t ~ , . . . . . , 21n n -----+ O.
n2
k2
n
k noo n
noo
k= I
k= I
n µ,(k)
D'autre part L - 2 - -----+
k= l k
1100
+oo µ,(k) , .
.
L /;,2' sen e qui
k= l
converge car lµ(k) 1 ~ l.
3) a) On peut appliquer un théorème d ' interversion et:
( ~ ak ) ( ~be )= "'°' akbe
L.., ket
L.., fet
L..,
(ker
k= I
i= 1
(k ,i)E (N*)2
+oo
adb !!.
= 2:2: net d ·
n= l d ln
b) Pour n ~ 2, soit n = p~
1
• ••• • p; ' la décomposition primaire de n (r E N* , PI , . .. , Pr premiers deux à deux distincts,
e 1, ... ,e, E N* ) ; on a:
~µ,(d) = IC~.,r}µ,(D,Pi)
L (- l fard(I) = ( 1 + (- 1))' = O.
I C I 1, ... ,r}
(
+oo µ(k) )( +oo 1)
+
00
1 (
)
c) L J;,2 L e2 = L n2 L µ,(d) l
k= I
i= I
11 = 1
d l11
= ~ 8 1,n = 1
L..,
2
.
n=l n
+oo µ,(k)
1
6
""'- -- -L.., k2 - +oo 1 - rr 2.
k= l
2: -
i= I e2
P 11
1) a) \:ln EN*, z 11 = - -
et
P,, -----+ l =/:- 0, donc
P,,_ 1
noo
Zn-----+ 1.
1100
1
b) Considérons, pour tout n de N*, z,, = e;;.
n
1
1
On a: Zn-----+ 1 et fl Zk = e 1 + 2+ ... + ;; -----+ + oo (car
noo
k= l
noo
1
la série L -est à termes positifs et diverge) .
n;>,: 1 n
Réponse: la réciproque du a) est fausse.
2) 0na: VnE N, ln(fl xk )=tlnxk.
k=O
k=O
La suite (fi Xk) admet une limite non nulle si et seulek=O
n;>, :O
ment si la suite (in( fi xk)) converge, c'est-à-dire si et
k=O
n;>, :O
seule ment si la série L ln x 11 converge. De plus, dans ce cas
11 ;>, :0
de convergence :
ln( TI x, , ) = f ln x,,.
n=O
n=O
3) a) D'après 2), fl (1 +un) converge si et seulement si
n;>, :O
L ln(l + u 11 ) converge.
11 ;>,:0
• Si fl (l + un) converge, alors u ,, -----+ 0 (cf. 1) a)) ,
11 ;>, :0
noo
Un ,....., ln (l +un) > 0 , et donc"'°' Un converge.
noo
L..,
n ;;.O
• R éciproquement si, Lu, , converge, a lors un -----+ 0 ,
n;>, :O
noo
ln(l + u n) ,....., Un > 0 , "'°' ln (l +Un) converge, et don c
noo
L..,
fl ( l + un) converge.
11 ;>, :0
n;>, :O
1
1
b) a) - > 0 et"'°' - converge si et seulement si o: > 1.
net
L.., net
11 ;>, : I
Réponse : fl ( l + n~ ) converge si et seulement si o: > 1 .
n;>, : l
{3) D'après 2), le produit infini fl ( l - n~) est de même na11 ;>,:2
ture que la série L ln ( 1 - n~ ) .
11 ;>, :2
Comme ln ( 1 - n~) ,~ - n~ < 0 , L ln ( l - n~) est de
n;>, :2
1
même nature que "'°' - .
L.., net
n;>,:2
Réponse : fl ( 1 - n~) converge si et seul ement si o: > 1.
11;>,:2
y) D'après 3) a), fl (1 + - 1 -) est de même nature que
2
n In n
n. ~
1
L
2
n lnn·
n ;>, :
Utiliser alors l'étude des séries de Bertrand (cf. 4.2.3 Prop. 2
p. 229).
Réponse: fl (1 + -
1
- ) diverge.
2
n Inn
n;>, :
4) a) Pour n E N, notons :
n
n
Pn = fl (l + Uk) et Qn = fl (1 + lu k l) .
k=O
k=O
Nous allons montrer que ( Pn)n ;;.O est de Cauchy dans C.
Soit s > O. Puisqu e L ju,, 1 converge, le produit infini
n;;.O
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2 - (E(x))2 ~ x + E(x) ~ 2x,
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n2
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n
k noo n
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k= I
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n µ,(k)
D'autre part L - 2 - -----+
k= l k
1100
+oo µ,(k) , .
.
L /;,2' sen e qui
k= l
converge car lµ(k) 1 ~ l.
3) a) On peut appliquer un théorème d ' interversion et:
( ~ ak ) ( ~be )= "'°' akbe
L.., ket
L.., fet
L..,
(ker
k= I
i= 1
(k ,i)E (N*)2
+oo
adb !!.
= 2:2: net d ·
n= l d ln
b) Pour n ~ 2, soit n = p~
1
• ••• • p; ' la décomposition primaire de n (r E N* , PI , . .. , Pr premiers deux à deux distincts,
e 1, ... ,e, E N* ) ; on a:
~µ,(d) = IC~.,r}µ,(D,Pi)
L (- l fard(I) = ( 1 + (- 1))' = O.
I C I 1, ... ,r}
(
+oo µ(k) )( +oo 1)
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c) L J;,2 L e2 = L n2 L µ,(d) l
k= I
i= I
11 = 1
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= ~ 8 1,n = 1
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k= l
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1) a) \:ln EN*, z 11 = - -
et
P,, -----+ l =/:- 0, donc
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b) Considérons, pour tout n de N*, z,, = e;;.
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k= l
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la série L -est à termes positifs et diverge) .
n;>,: 1 n
Réponse: la réciproque du a) est fausse.
2) 0na: VnE N, ln(fl xk )=tlnxk.
k=O
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La suite (fi Xk) admet une limite non nulle si et seulek=O
n;>, :O
ment si la suite (in( fi xk)) converge, c'est-à-dire si et
k=O
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seule ment si la série L ln x 11 converge. De plus, dans ce cas
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ln( TI x, , ) = f ln x,,.
n=O
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3) a) D'après 2), fl (1 +un) converge si et seulement si
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L ln(l + u 11 ) converge.
11 ;>,:0
• Si fl (l + un) converge, alors u ,, -----+ 0 (cf. 1) a)) ,
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Un ,....., ln (l +un) > 0 , et donc"'°' Un converge.
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• R éciproquement si, Lu, , converge, a lors un -----+ 0 ,
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ln(l + u n) ,....., Un > 0 , "'°' ln (l +Un) converge, et don c
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fl ( l + un) converge.
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b) a) - > 0 et"'°' - converge si et seulement si o: > 1.
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Réponse : fl ( l + n~ ) converge si et seulement si o: > 1 .
n;>, : l
{3) D'après 2), le produit infini fl ( l - n~) est de même na11 ;>,:2
ture que la série L ln ( 1 - n~ ) .
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Comme ln ( 1 - n~) ,~ - n~ < 0 , L ln ( l - n~) est de
n;>, :2
1
même nature que "'°' - .
L.., net
n;>,:2
Réponse : fl ( 1 - n~) converge si et seul ement si o: > 1.
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y) D'après 3) a), fl (1 + - 1 -) est de même nature que
2
n In n
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Utiliser alors l'étude des séries de Bertrand (cf. 4.2.3 Prop. 2
p. 229).
Réponse: fl (1 + -
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- ) diverge.
2
n Inn
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4) a) Pour n E N, notons :
n
n
Pn = fl (l + Uk) et Qn = fl (1 + lu k l) .
k=O
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Nous allons montrer que ( Pn)n ;;.O est de Cauchy dans C.
Soit s > O. Puisqu e L ju,, 1 converge, le produit infini
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