"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
3) Montrons, par récurrence sur p, que, pour tout p ~ 3,
C+ ... +C=[O;p].
' - v - - '
p termes
Si p ~ 3 et C + ... + C = [O; p - l]
'-----..------'
p- 1 termes
et C + .. . + C = [O; p] , alors :
' - v - - '
p termes
C + ... + C = C + ... + C +(C + C)
' - v - - '
' - v - - '
p+ I tennes
p - 1 tennes
= [O; p - l] + [O; 2] = [O; p + l].
1) Notons P = ao + a1 X+ ... + anXn, où n ~ 2 ,
ao, ... ,an EZ, an =/=O.
Soit (p,q) E Z x N*.
Puisque a ~
q
s E la; ~ 1 (intervalle ouvert joignant a et~) tel que :
P(a)- P (~)=(a - ~) P ' (s).
Si la - ~ 1 > 1, on peut prendre c = 1, puisqu'on a alors:
l
a -!!._1>1~_!_. q
qn
Supposons donc la - ~ 1 ~ 1 .
Comme P' est continue sur le segment [- la 1 - 1; la 1 + 1] , il
existe M E IR~ tel que :
Vu E [- lai - 1; la i+ l] , IP '(u)I < M.
De plus: lsl =la+ (s-a) I ~ lal + ls -a l
~lai+ la - ~ I ~ lai+ 1,
donc s E [- la i - 1; lai+ l], d'où: IP '(s) I < M.
On a alors:
1-P (~) I =la - ~l IP '(s) I < la - ~I M ,
d'où: la - ~ I > ~ lp (~) I = M~1 1 lqn p (~) I ·
Comme
qnp (~) =aoqn +a1pq11- I + ... +anpn =/=O
et que qn P ( ~) E Z, on a lq
11 P ( ~) 1 ~ 1,
d'où: la - !!._I > -
1
- .
q
Mqn
Finalement, c = Min ( 1, ~) convient (indépendant de p
et q).
2) Puisque (u11) 11 ;;, 1 est bornée, il existe C E IR+ tel que :
Vn EN*, lun l ~ C.
•Comme : Vn ~ 1, lu 11 10- n!I ~ C .10- n,
+oo
la série L Un 1 o-n ! converge. Notons L = L Un 10-n ! .
11 ;;. I
n= I
•Si L E
stationnerait sur 0, ce qui est exclu.
Ceci montre: L ~
11
Pn = 10''! LuklO-k! et
k= I
On a alors, pour tout n de N* :
n
* Pn _ '""" 10 - k!
Pn E Z, q11 EN ,
- L.., Uk
.
qn
k=l
D'où, pour tout n de N* :
I
L - Pn 1= 1 ~ uk10-k!I ~ ~ c10-k!
qn
k=n+ 1
k=n+ 1
+oo
= crn-
+oo
JOC
~ c10- <11+ l)! 2= 10- q = 9 10-
= lOC (_!__)"+
1
~ lOC _2_.
9
q 11
9q 11 q~
Si L était algébrique, d'après 1 ), il existerait c E IR~ et
n EN - {O, l} tel que:
1
p 1
c
V(p,q) E Z x N*, L - q > q" '
contradiction avec le résultat précédent.
Finalement, L est transcendant.
1) Appliquer le principe d'inclusion-exclusion : n 2 est le
nombre total de couples; on enlève les couples (u , v) tels que
Pl 1 u et Pl 1 v pour Pl premier ; puis on rajoute ceux tels que
P 1 P2 1 u et p 1 P2 1 v ; etc ...
2) a) Réordonner la série précédente (qui, en fait, est à termes
nuls à partir d'un certain rang).
b) I:; -Ê µk~) 1 = IË (µ~~\EG))
2
- µ:~))I
= nl2 ʵ(k) ( G)2 -(EG))2)
~ n
1
2 Ê ( G)
2
-( EG )2)) ·
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C+ ... +C=[O;p].
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p termes
Si p ~ 3 et C + ... + C = [O; p - l]
'-----..------'
p- 1 termes
et C + .. . + C = [O; p] , alors :
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C + ... + C = C + ... + C +(C + C)
' - v - - '
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p+ I tennes
p - 1 tennes
= [O; p - l] + [O; 2] = [O; p + l].
1) Notons P = ao + a1 X+ ... + anXn, où n ~ 2 ,
ao, ... ,an EZ, an =/=O.
Soit (p,q) E Z x N*.
Puisque a ~
q
s E la; ~ 1 (intervalle ouvert joignant a et~) tel que :
P(a)- P (~)=(a - ~) P ' (s).
Si la - ~ 1 > 1, on peut prendre c = 1, puisqu'on a alors:
l
a -!!._1>1~_!_. q
qn
Supposons donc la - ~ 1 ~ 1 .
Comme P' est continue sur le segment [- la 1 - 1; la 1 + 1] , il
existe M E IR~ tel que :
Vu E [- lai - 1; la i+ l] , IP '(u)I < M.
De plus: lsl =la+ (s-a) I ~ lal + ls -a l
~lai+ la - ~ I ~ lai+ 1,
donc s E [- la i - 1; lai+ l], d'où: IP '(s) I < M.
On a alors:
1-P (~) I =la - ~l IP '(s) I < la - ~I M ,
d'où: la - ~ I > ~ lp (~) I = M~1 1 lqn p (~) I ·
Comme
qnp (~) =aoqn +a1pq11- I + ... +anpn =/=O
et que qn P ( ~) E Z, on a lq
11 P ( ~) 1 ~ 1,
d'où: la - !!._I > -
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Finalement, c = Min ( 1, ~) convient (indépendant de p
et q).
2) Puisque (u11) 11 ;;, 1 est bornée, il existe C E IR+ tel que :
Vn EN*, lun l ~ C.
•Comme : Vn ~ 1, lu 11 10- n!I ~ C .10- n,
+oo
la série L Un 1 o-n ! converge. Notons L = L Un 10-n ! .
11 ;;. I
n= I
•Si L E
stationnerait sur 0, ce qui est exclu.
Ceci montre: L ~
11
Pn = 10''! LuklO-k! et
k= I
On a alors, pour tout n de N* :
n
* Pn _ '""" 10 - k!
Pn E Z, q11 EN ,
- L.., Uk
.
qn
k=l
D'où, pour tout n de N* :
I
L - Pn 1= 1 ~ uk10-k!I ~ ~ c10-k!
qn
k=n+ 1
k=n+ 1
+oo
= crn-
+oo
JOC
~ c10- <11+ l)! 2= 10- q = 9 10-
= lOC (_!__)"+
1
~ lOC _2_.
9
q 11
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Si L était algébrique, d'après 1 ), il existerait c E IR~ et
n EN - {O, l} tel que:
1
p 1
c
V(p,q) E Z x N*, L - q > q" '
contradiction avec le résultat précédent.
Finalement, L est transcendant.
1) Appliquer le principe d'inclusion-exclusion : n 2 est le
nombre total de couples; on enlève les couples (u , v) tels que
Pl 1 u et Pl 1 v pour Pl premier ; puis on rajoute ceux tels que
P 1 P2 1 u et p 1 P2 1 v ; etc ...
2) a) Réordonner la série précédente (qui, en fait, est à termes
nuls à partir d'un certain rang).
b) I:; -Ê µk~) 1 = IË (µ~~\EG))
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