"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>o..
0
u
1) •Pour toute a= (an)n ;;, l de {0,2)N', la série l:: a 11 3- n
11;;, I
converge, donc rp(a) existe, et, de plus, rp(a) E [O; l] .
• Soit a = (an)n ;;, J E {0,2}N*.
Puisque a 1 E {0,2), on a: rp(a) E C 1.
De même, pour tout n de N*, puisque a1, . . . ,an sont dans {0, 2),
on a: rp(a) E Cn.
A insi : rp(a) E n Cn = C.
n EN
•Réciproque me nt, soit x E C.
Re marquons d'abord que les extrémités des segme nts formant
C1 ,C2 , ... , sont certains nombres triadiques, c'est-à-dire de la
forme a3 - n, (a,n) E N 2 .
l ) Six n'est pas triadique, alo rs x admet un développement triadique unique (analogue e n base 3 du développement décimal,
+oo
cf. 4 .2.4 2) p. 232), X = L an r
11 , où, pour tout n de N* ,
n= l
a 11 E {0, 1,2), et où (a,,) 11 ;;, J ne sta tionne pas sur 0 ni sur 2.
Co mme x E C i , o n a a 1 # l ; puis , co mm e x E C2,
a2 # 1, ...
On obtient: Vn E N*,
a,, E {0,2).
2) Six est triadique, il existe (a,n) E N 2 unique tel que:
x = a3 - n et 3 Y a.
Comme x E Cn, x est alors une extrémité de C 11 •
Six est une extrémité gauche, alors x admet un développement
+oo
triadique x = L a 11 3- n tel que :
n= l
{
Vk E N, ak E {0,2)
Vk ;;:: n+l , ak =O.
0
0
0,01
0,02
0,1
0 , 10
0,2
0,20
0,21
0,22
0
10,001
1
0,002
0,010
1
0,020
0,021
10,022
0,100
1
0 ,200
0 ,201
1
0 ,202
0 ,210
1
0 ,220
0 ,221
10 ,222
1
C3
Si x est une extrémité droite, alors x admet un développement
+ oo
triadique x = L an3- n tel que :
n=O
{
Vk E N, ak E {0,2)
Vk ;;:: n + 1, ak = 2.
2) a) • Soient x E C, (a 11 ) 11 ;;, 1 = rp- 1 (x) E {0,2} N* .
A lors L a; 2-n converge et, comme, pour tout n de N*,
n;;, 1
+oo
an
~ a,,
- n
-E{O,l),ona: L.,-2
E [O; l ].
2
n= l 2
Ceci montre que, pour tout x deC,f (x) existe etf (x) E [O; 1).
•Soit y E [O; 1). Il existe (bn)n ;;, 1 E {O, l}N* telle que
+oo
y= L bnT
11 (développement diadique illimité de y) et, en
n=l
+oo
notant x = L(2b,,)3 - ", on ax E C
n= I
+oo
+oo
et f(x) = L (2bn)Tn - I = LbnT
11 = y.
n= I
n=I
Ains i, f est une surjectio n de C sur [0; 1).
b) Si C etait dénombrable, comme f: C-----+ [O; 1) est surjective, [0; 1) le serait aussi.
Mais, puisque lR n'est pas dé nombrable et qu'il existe une bijection ]0; 1 [-----+ JR, [0; 1) n'est pas dénombrable.
On conclut : C n'est pas dénombrable.
3) l ) •Puisque CC [O; l] , on a:
c + c = {x +y; (x ,y) E c X C} c [O; 2) .
u
•Réciproque me nt, soit u E [O; 2). Puisque 2
E [O; 1), d'après
l'ex istence du développement triadique d'un élé me nt de [O; 1),
il ex iste (un)n ;;, l E {O, l ,2}N* telle que:
Considérons x = L Xn3-n et y = L Yn3-n, où :
n;;, l
n;;, I
r~ y. ~o
si Un= 0
Xn = 2 et Yn = 0 SI Un= 1
Xn = 2 et Yn = 2 SI Un= 2.
Onaalors: (x , y)ECxC et x+y=2 ( ~)=u.
Ceci montre : C + C = [O; 2) .
1 2
2) Puisque 0, 3 , 3 , 1 sont dans C , on a:
c + c + c :::> c + c + { 0, ~ ' ~, 1}
= [O; 21 + {o· ~ · ~· i}
= [0; 2) u [~; 2 + ~ J u rn; 2 + ~J u [l ; 3) = [0; 3) .
1 641
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>o..
0
u
1) •Pour toute a= (an)n ;;, l de {0,2)N', la série l:: a 11 3- n
11;;, I
converge, donc rp(a) existe, et, de plus, rp(a) E [O; l] .
• Soit a = (an)n ;;, J E {0,2}N*.
Puisque a 1 E {0,2), on a: rp(a) E C 1.
De même, pour tout n de N*, puisque a1, . . . ,an sont dans {0, 2),
on a: rp(a) E Cn.
A insi : rp(a) E n Cn = C.
n EN
•Réciproque me nt, soit x E C.
Re marquons d'abord que les extrémités des segme nts formant
C1 ,C2 , ... , sont certains nombres triadiques, c'est-à-dire de la
forme a3 - n, (a,n) E N 2 .
l ) Six n'est pas triadique, alo rs x admet un développement triadique unique (analogue e n base 3 du développement décimal,
+oo
cf. 4 .2.4 2) p. 232), X = L an r
11 , où, pour tout n de N* ,
n= l
a 11 E {0, 1,2), et où (a,,) 11 ;;, J ne sta tionne pas sur 0 ni sur 2.
Co mme x E C i , o n a a 1 # l ; puis , co mm e x E C2,
a2 # 1, ...
On obtient: Vn E N*,
a,, E {0,2).
2) Six est triadique, il existe (a,n) E N 2 unique tel que:
x = a3 - n et 3 Y a.
Comme x E Cn, x est alors une extrémité de C 11 •
Six est une extrémité gauche, alors x admet un développement
+oo
triadique x = L a 11 3- n tel que :
n= l
{
Vk E N, ak E {0,2)
Vk ;;:: n+l , ak =O.
0
0
0,01
0,02
0,1
0 , 10
0,2
0,20
0,21
0,22
0
10,001
1
0,002
0,010
1
0,020
0,021
10,022
0,100
1
0 ,200
0 ,201
1
0 ,202
0 ,210
1
0 ,220
0 ,221
10 ,222
1
C3
Si x est une extrémité droite, alors x admet un développement
+ oo
triadique x = L an3- n tel que :
n=O
{
Vk E N, ak E {0,2)
Vk ;;:: n + 1, ak = 2.
2) a) • Soient x E C, (a 11 ) 11 ;;, 1 = rp- 1 (x) E {0,2} N* .
A lors L a; 2-n converge et, comme, pour tout n de N*,
n;;, 1
+oo
an
~ a,,
- n
-E{O,l),ona: L.,-2
E [O; l ].
2
n= l 2
Ceci montre que, pour tout x deC,f (x) existe etf (x) E [O; 1).
•Soit y E [O; 1). Il existe (bn)n ;;, 1 E {O, l}N* telle que
+oo
y= L bnT
11 (développement diadique illimité de y) et, en
n=l
+oo
notant x = L(2b,,)3 - ", on ax E C
n= I
+oo
+oo
et f(x) = L (2bn)Tn - I = LbnT
11 = y.
n= I
n=I
Ains i, f est une surjectio n de C sur [0; 1).
b) Si C etait dénombrable, comme f: C-----+ [O; 1) est surjective, [0; 1) le serait aussi.
Mais, puisque lR n'est pas dé nombrable et qu'il existe une bijection ]0; 1 [-----+ JR, [0; 1) n'est pas dénombrable.
On conclut : C n'est pas dénombrable.
3) l ) •Puisque CC [O; l] , on a:
c + c = {x +y; (x ,y) E c X C} c [O; 2) .
u
•Réciproque me nt, soit u E [O; 2). Puisque 2
E [O; 1), d'après
l'ex istence du développement triadique d'un élé me nt de [O; 1),
il ex iste (un)n ;;, l E {O, l ,2}N* telle que:
Considérons x = L Xn3-n et y = L Yn3-n, où :
n;;, l
n;;, I
r~ y. ~o
si Un= 0
Xn = 2 et Yn = 0 SI Un= 1
Xn = 2 et Yn = 2 SI Un= 2.
Onaalors: (x , y)ECxC et x+y=2 ( ~)=u.
Ceci montre : C + C = [O; 2) .
1 2
2) Puisque 0, 3 , 3 , 1 sont dans C , on a:
c + c + c :::> c + c + { 0, ~ ' ~, 1}
= [O; 21 + {o· ~ · ~· i}
= [0; 2) u [~; 2 + ~ J u rn; 2 + ~J u [l ; 3) = [0; 3) .
1 641