"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
la série-produit L Wn des séries absolument convergentes
n;;,O
1
l
"\"' - xn et "\"' - yn est absolument convergente et a pour
L n '
Ln'
n;;.O ·
n;;.O ·
somme exeY.
~l k
I
nk
Mais : Vn EN, Wn = L - x
Y -
d'où
k=O k!
(n - k)!
l n
k
1
= _ "\"' C xk yn- k = __:_ (x + y)n
n! L
n
n'
k=O
+oo
"\"' w - ex+y
~
n -
.
n=O
(car xy = yx),
n (- l )k
a)'Vn E N*, Wn = L ./k
k= l
(- l)n+ l -k
../n + 1 - k
,,
l
= (-l)n+ I L
.
k= l .Jk(n + l - k)
(n + 1)2
Remarquer'VkE {l , ... , n},k(n+l-k) ~
4
, d'où:
2n
lwn l;::;: - - , et donc Wn ~O.
n + 1
noo
n (-ll (- l )n+ l - k
h)'Vn E N*, w 11 = z= -- ---k= l
k
n + 1 - k
n+ l ~
1
=(- l )
L k(n+ l -k)
k= l
(- l)n+l t(~ +
1
)=2(- l)n+lt~ .
n + 1 k= 1 k
n + 1 - k
n + 1 k= 1 k
( 2 n 1)
Montrer que la suite - - L - décroît, afin d'applin + 1 k= l k 11;;. l
quer le TSCSA (même méthode que pour la solution de l'exercice 4.3.8 d) p. 631).
Notons P = {n E N; Un > 0} et N = {n E N; u,, ~ 0} ; on a
donc p n N = 0 et p u N = N. De plus, puisque L Un est
n ;;.O
semi-convergente, les ensembles P et N sont infinis, et il existe
donc deux bijections f : N -----+ Pet g : N -----+ N strictement
croissantes. Notons, pour p E N, Vp = Uf( p) > 0, et, pour
n E N, Wn = -Ug(n) ;::;: O.
Puisque L u,. est semi-convergente, les séries L vp et L Wn
n;;.O
p;;.O
n;;.O
sont divergentes (et à termes ;::;: 0), donc leur sommes partielles
ont pour limite +oo.
P l
Notons p 1 le plus petit enti er ;::;: 0 te l que : L vp > S,
p=O
Pl
"'
et n1 le plus petit entier ;::;: 0 te l que: L Vp - L Wn < S ,
p=O
n=O
puis P2 le plus petit entier > Pl te l que :
Pl
n1
P2
L Vp - L Wn + L Vp > S ,
p=O
n=O
p= p1 + 1
et n2 le plus petit entier > n 1 tel que :
P l
n 1
P2
n2
L Vp - L Wn + L
Vp -
L
Wn > S , etc.
p=O
n=O
p=p1+l
n=n 1+ l
On construit ainsi deux suites (Pkh;;, 1 et (nk )k;;, 1 d'entiers ;::;: 0,
stricte ment croissantes, telles qu'en notant
n1
z= w,. , ...•
n=n 1+ l
on ait, pour tout k de N* :
et
1
Pk+ I - 1
ao-ho+ ... +ak- l -hk- l + L Vp :o::; s
p=pk+l
ao - ho + .. . + ak- l - h k- l + ak > S
1
nk+ 1- l
ao - ho + .. . + ak- 1 - hk- l + ak - L
Wn ;::;: s
n=nk+ l
ao - ho + ... + ak-1 - bk-1 + ak - bk < S
On a alors, pour tout k de N* :
{
0 < (ao - bo + ... + ak- 1 - bk- 1 + ak) - S ~ v 1 ,,+ 1
w">+' ~ (ao - ho+ ... + ak - 1 - bk- l + ak- bd - S < O.
Comme L u n converge, un - - - 7 0, donc Vp - - - 7 0
0
noo
poo
n ;;,
et Wn - - - 7 0 , d'où vPk+ I - - - 7 0 et w,,k+ , ---7 0 , et ainsi :
noo
koo
koo
1
ao - h o + ... + a k- 1 - h k- , + ak - - - 7 S
koo
ao - h o+ ... + a k- 1 - h k- 1 + ak - h k - - - 7 S.
k oo
Notons rp la permutation de N définie par :
rp(O) = /(0), ... ,rp (p 1) = /(p1) ,
rp(p 1 + n1 + 1) = f(P l + 1), ... ,
correspondant au « rangement » de L un e n ao - ho
n;;.O
+ai -b1 + ....
Puisque les ak et b k sont tous ;::;: 0 , toute somme partielle
N
L U rp(n) de la série L U rp (n) est comprise entre deux sommes
n=O
n;;.O
des t y pes
ao - ho + ... + ak- 1 - hk - 1 + ak
et ao - ho+ . .. + ak- 1 - h k- 1 + ak - h k,
N
et donc L U rp(n ) - - - 7 S.
n=O
Noo
FinaJement, L U rp(n ) converge et a pour somme S.
n;;.O