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(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
+oo
+oo
l
• Pour z = 1 : L (ç(n) - 1) = I: --11= 2
/7= 2 p (p - 1)
+ oo (
1 1)
= ' °"' -- - - = 1 , série télescopique.
L.., p- 1
p
p=2
+ oo
+ oo
1
• Pour z = -1: L (-l)n ( ç(n) - 1) = L: - - -
n=2
p=2 p(p + l )
- - p~= oo 2 (-;;1 - p +l 1) - - 21 '
L..,
série télescopique.
a) Soit q E N* fi xé.
Pui sque
la série
converge.
On obtient, à l'aide d'une décomposition en éléments simples,
pour tout N de N* tel que N ?: 2q :
L:
i
= L: _!_ (-1 __ 1 )
l <; p<;N P 2 - q 2
l <; p<;N 2 q p - q
p + q
PPt
p~q
N+q ] )
L: -
l=2q+l f,
Comme
on déduit:
1
3
Vq E N*, L 2 2 = - 2 ·
p;, I p - q
4q
p~q
h) •D'après a), pour tout q de N* la série L up,q converge et
p;i, l
a pour somme
4
3
2 , donc la série L (~ up,q) converge
q
q;i, l p= l
3
JT2
et a pour somme L - 2
(= - , cf. 7.4).
q=1 4q
8
• Comme: V(p ,q ) E (N*) 2 , uq ,p = -up,q. on a:
+ oo + oo
+ oo +oo
+ oo + oo
- L L up,q = L L uq ,p = L L up,q·
q=l p=l
q=1p=1
p=l q=l
Considérons la suite double ( -
1
- )
.
npn n;i,2,p;i,2
1
Pour tout p de N, tel que p ?: 2, la série L - est absolu11 ;i,2 np"
ment convergente, et :
+oo 1
1
+oo l ( l ) "
L: - = - - + L: - -
11= 2 np
11
P
11= 1 n P
= - ~ - ln ( 1 - ~) > O.
D'après 4.3.7 2) Exemple p. 259,
la série L l (1n( 1 + ~) - n ! 1 ) converge et:
n;i,
~ln (1 + 2-) -- 1 -. = 1 - y ,
n= l
n
n + 1
donc L (-2_ - ln ( 1 - 2_)) converge, et :
p;i,2
p
p
+ oo (
1
1 )
L: - - - ln( 1 - - )
p=2
p
p
+ oo (
1
1 )
= L: - -
+ 1n(1 + - ) = 1 -y.
n=l
n + 1
n
On peut donc appliquer le théorème de Fubini, d'où :
+oo Ç(n) _ l
+oo +oo l
+oo +oo l
L:
-L:L: -
- L:L: -
- 1 -y
11=2
n
n=2 p=2 np"
p=2 11= 2 np"
Même méthode que dans l'exercice 4.3.29:
(-l )11
+ oo + oo (- l)n
+ oo (-1) 11 (
.)
·L:~ = LL np" = L:-n- Ç(n) -1
,,,,2
11 = 2 p=2
11 = 2
v~2
= ~ (- l )"Ç(n) - 1 + ln 2.
n=2
n
(- 1)
11
+ oo + oo (-1)"
+ oo ( 1
(
1 )'\
• L ~ = L L npn = L p - ln 1 + p Î
,,;,2
p
p=2 11= 2
p=2
p";t2
On conclut:
+
00
(1
1)
= -l + ln 2+ L - -ln(l +-)
p=1 p
p
+oo ( 1
1 )
=-l+ln2+ L
- - - -
p=l p
p + l
+ ~ ( -
1
- In( l + 2_ ))
p=l p + 1
p
= - 1 + ln 2 + 1 +(y - 1) = - 1 + ln 2+y.
+ oo (- l )"Ç(n)
L:
=y.
n=2
n
Soit (x ,y) E A 2 tel que xy = yx.
La preuve du Théorème de 4.3.10 3) p. 279, transcrite pour des
séries à termes dans une algèbre normée complète, montre que
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• Pour z = 1 : L (ç(n) - 1) = I: --11= 2
/7= 2 p (p - 1)
+ oo (
1 1)
= ' °"' -- - - = 1 , série télescopique.
L.., p- 1
p
p=2
+ oo
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1
• Pour z = -1: L (-l)n ( ç(n) - 1) = L: - - -
n=2
p=2 p(p + l )
- - p~= oo 2 (-;;1 - p +l 1) - - 21 '
L..,
série télescopique.
a) Soit q E N* fi xé.
Pui sque
la série
converge.
On obtient, à l'aide d'une décomposition en éléments simples,
pour tout N de N* tel que N ?: 2q :
L:
i
= L: _!_ (-1 __ 1 )
l <; p<;N P 2 - q 2
l <; p<;N 2 q p - q
p + q
PPt
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N+q ] )
L: -
l=2q+l f,
Comme
on déduit:
1
3
Vq E N*, L 2 2 = - 2 ·
p;, I p - q
4q
p~q
h) •D'après a), pour tout q de N* la série L up,q converge et
p;i, l
a pour somme
4
3
2 , donc la série L (~ up,q) converge
q
q;i, l p= l
3
JT2
et a pour somme L - 2
(= - , cf. 7.4).
q=1 4q
8
• Comme: V(p ,q ) E (N*) 2 , uq ,p = -up,q. on a:
+ oo + oo
+ oo +oo
+ oo + oo
- L L up,q = L L uq ,p = L L up,q·
q=l p=l
q=1p=1
p=l q=l
Considérons la suite double ( -
1
- )
.
npn n;i,2,p;i,2
1
Pour tout p de N, tel que p ?: 2, la série L - est absolu11 ;i,2 np"
ment convergente, et :
+oo 1
1
+oo l ( l ) "
L: - = - - + L: - -
11= 2 np
11
P
11= 1 n P
= - ~ - ln ( 1 - ~) > O.
D'après 4.3.7 2) Exemple p. 259,
la série L l (1n( 1 + ~) - n ! 1 ) converge et:
n;i,
~ln (1 + 2-) -- 1 -. = 1 - y ,
n= l
n
n + 1
donc L (-2_ - ln ( 1 - 2_)) converge, et :
p;i,2
p
p
+ oo (
1
1 )
L: - - - ln( 1 - - )
p=2
p
p
+ oo (
1
1 )
= L: - -
+ 1n(1 + - ) = 1 -y.
n=l
n + 1
n
On peut donc appliquer le théorème de Fubini, d'où :
+oo Ç(n) _ l
+oo +oo l
+oo +oo l
L:
-L:L: -
- L:L: -
- 1 -y
11=2
n
n=2 p=2 np"
p=2 11= 2 np"
Même méthode que dans l'exercice 4.3.29:
(-l )11
+ oo + oo (- l)n
+ oo (-1) 11 (
.)
·L:~ = LL np" = L:-n- Ç(n) -1
,,,,2
11 = 2 p=2
11 = 2
v~2
= ~ (- l )"Ç(n) - 1 + ln 2.
n=2
n
(- 1)
11
+ oo + oo (-1)"
+ oo ( 1
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• L ~ = L L npn = L p - ln 1 + p Î
,,;,2
p
p=2 11= 2
p=2
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On conclut:
+
00
(1
1)
= -l + ln 2+ L - -ln(l +-)
p=1 p
p
+oo ( 1
1 )
=-l+ln2+ L
- - - -
p=l p
p + l
+ ~ ( -
1
- In( l + 2_ ))
p=l p + 1
p
= - 1 + ln 2 + 1 +(y - 1) = - 1 + ln 2+y.
+ oo (- l )"Ç(n)
L:
=y.
n=2
n
Soit (x ,y) E A 2 tel que xy = yx.
La preuve du Théorème de 4.3.10 3) p. 279, transcrite pour des
séries à termes dans une algèbre normée complète, montre que
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