"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Puisque Un ~ 0 , on a : u~ = o (un).
noo
noo
Un théorème de sommation des relations de comparaison
(4.3.9 2) Prop. l p. 270) donne alors:
d'où:
Généralisation
Une étude analogue montre que, si L Un , L Vn sont des sén
n
ries telles que :
~
1
\ln E N*, Vn ;:::, 0
Vn diverge
n
u,,~o,
noo
alors: ~-\uk Vk + VkUk) - U,, Vn = o (Vn),
~
noo
k= I
11
11
où Un= LUk.
k= l
V11 = L Vk .
k= l
On a, pour tout n de N* :
11
(n+l)q
(n +l) 2
u + i - u - 2 L
+--n
11
-
q= l (n + 1) + q 2(n + 1)
q
1
11
- + 1
n + l
= 2(n+ 1)2 _ _ L n . + - -.
n + 1 . = l 1 + _ q_
2
q
n + 1
Comme
q
_l_ t ;;+!
n + 1 k= 1 1 + _ q _
n+ l
~
noo
l
{ _x_dx= l-ln 2 ,
Jo 1 +x
on déduit : u ,,+ 1 - u ,, ~ 2(1 - ln 2)n
2 .
11 00
Un théorème de sommation des relations de comparaison
(4.3.9 2) Prop. 3 p. 271) permet de déduire:
"
1 - ln 2
Un ~ 2(1 - ln 2) ~ k 2 =
3
n(n + 1)(2n + 1)
noo
~
k= l
2
~ - (l - ln 2)n 3 .
noo 3
,
2
3
Reponse : 3
(1 - ln 2)n .
Considérons la suite double réelle (up.q) (p.q)eN2 définie par:
l
(-1)"
llµ.q =
(- l~p+ I
sinon.
si q = p
si q = p + 1
q
0
0
0
1
0
0 -1 -1
0
0
l
0
0
- 1 - 1
0
0
0
1 0
0 0
0
p
• Pourtoutp E N, la série L u p,q est absolument convergente,
q)O
car ses termes sont tous nuls à partir de l'indice p + 2 , et :
+oo
LUp,q = Up,p + ll p.p+I = (-1)" + (-l)"+ I = Ü.
q=O
La série L 1 ~ u p.q 1 est convergente, puisque c'est la série
p) O q=O
nulle.
•Pour tout q ~ 0, la série L u p.q est absolument convergente,
p;>O
car ses ternies sont tous nuls à partir de l'indice q - 1 (si q ~ 1)
ou 1 (si q = 0), et, pour q ~ 1 :
+oo
L:u p.q = Uq- 1.q +uq,q = 2(-If ,
p=O
donc la série L ( ~ u p.q) diverge, puisque son terme géq;>o 1 ,=o
néral ne tend pas vers O.
Soit z E C tel que lzl < 2.
Considérons la suite doubl e ( z' :, ) .
P
n;>2,p;>2
1
z" 1
Pour tout p ;:::, 2 , la série L -;; converge et :
11) 2 p
~1;:H~l '.~ IH' ~ l~I ' , _
1
~
1
lzl
2
p(p - lzl)
Et la série L lzl
2
p;, 2 p(p - lzl)
est absolument convergente,
lzi2
lzl
2
car
p(p- lzl) P~ -;;r·
On peut donc appliquer le théorème de Fubini :
+oo
+oo +oo n
L:: z"(Ç(n)-1) = LL ~
11=2
11=2 p=2 p
+oo +oo z"
+oo
z2
= 2=2= -p" = L:: p(p -z).
p=2 11= 2
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Puisque Un ~ 0 , on a : u~ = o (un).
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Un théorème de sommation des relations de comparaison
(4.3.9 2) Prop. l p. 270) donne alors:
d'où:
Généralisation
Une étude analogue montre que, si L Un , L Vn sont des sén
n
ries telles que :
~
1
\ln E N*, Vn ;:::, 0
Vn diverge
n
u,,~o,
noo
alors: ~-\uk Vk + VkUk) - U,, Vn = o (Vn),
~
noo
k= I
11
11
où Un= LUk.
k= l
V11 = L Vk .
k= l
On a, pour tout n de N* :
11
(n+l)q
(n +l) 2
u + i - u - 2 L
+--n
11
-
q= l (n + 1) + q 2(n + 1)
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n + l
= 2(n+ 1)2 _ _ L n . + - -.
n + 1 . = l 1 + _ q_
2
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Comme
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n + 1 k= 1 1 + _ q _
n+ l
~
noo
l
{ _x_dx= l-ln 2 ,
Jo 1 +x
on déduit : u ,,+ 1 - u ,, ~ 2(1 - ln 2)n
2 .
11 00
Un théorème de sommation des relations de comparaison
(4.3.9 2) Prop. 3 p. 271) permet de déduire:
"
1 - ln 2
Un ~ 2(1 - ln 2) ~ k 2 =
3
n(n + 1)(2n + 1)
noo
~
k= l
2
~ - (l - ln 2)n 3 .
noo 3
,
2
3
Reponse : 3
(1 - ln 2)n .
Considérons la suite double réelle (up.q) (p.q)eN2 définie par:
l
(-1)"
llµ.q =
(- l~p+ I
sinon.
si q = p
si q = p + 1
q
0
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0
p
• Pourtoutp E N, la série L u p,q est absolument convergente,
q)O
car ses termes sont tous nuls à partir de l'indice p + 2 , et :
+oo
LUp,q = Up,p + ll p.p+I = (-1)" + (-l)"+ I = Ü.
q=O
La série L 1 ~ u p.q 1 est convergente, puisque c'est la série
p) O q=O
nulle.
•Pour tout q ~ 0, la série L u p.q est absolument convergente,
p;>O
car ses ternies sont tous nuls à partir de l'indice q - 1 (si q ~ 1)
ou 1 (si q = 0), et, pour q ~ 1 :
+oo
L:u p.q = Uq- 1.q +uq,q = 2(-If ,
p=O
donc la série L ( ~ u p.q) diverge, puisque son terme géq;>o 1 ,=o
néral ne tend pas vers O.
Soit z E C tel que lzl < 2.
Considérons la suite doubl e ( z' :, ) .
P
n;>2,p;>2
1
z" 1
Pour tout p ;:::, 2 , la série L -;; converge et :
11) 2 p
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1
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1
lzl
2
p(p - lzl)
Et la série L lzl
2
p;, 2 p(p - lzl)
est absolument convergente,
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lzl
2
car
p(p- lzl) P~ -;;r·
On peut donc appliquer le théorème de Fubini :
+oo
+oo +oo n
L:: z"(Ç(n)-1) = LL ~
11=2
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+oo +oo z"
+oo
z2
= 2=2= -p" = L:: p(p -z).
p=2 11= 2
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