-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>Q.
0
u
R éponse :
* ~
1
3
1
1
• 'Vn E N 'f:J k(k + 2) = 4 - 2(n + 1) - 2(n + 2) ·
-
2kn
- iek
a) En notant, pour k E {0, ... ,2n}, fh - - - et wk - e ,
·
2n + 1
on a, pour tout z de
z - i ) 2n+ I
z- i
- .
= 1 {::::::} (3k E {0, ... ,2n}, -
. = Wk)
z+ 1
z+ i
. l + Wk
{::::::} (3k E {l , .. . ,2n}, z = 1 - -).
l - Wk
iok
iok
. l + wk
. e T + e - T
kn
De plus : 1 - - - = - 1 .
.
=-cotan - - .
1 - Wk
~
- ~
2n + 1
e 2 - e 2
R éponse : { -cotan __!:.!!__; k E { 1, ... , 2n} } .
2n+ 1
b) En développant par la formule du binôme de Newton :
- -.
= 1 {::::::} (z + i)2n+l - (z - i)2n +l = 0
(
z - i) 2n+ l
z + 1
C l . 2n C 3 .3 2n- 2
{::::::} 2 2n + J IZ + 2 2n + J l z
+ ... = O.
En notant a1 , a2, ... , les fonctions symétriques élémentaires
de l'équation algébrique précédente, on a :
C
3
3
2 2n + li
O" J = 0 et a2 = - - - -
2C;n + li
n(2n - l )
3
d'où :
~
2 kn
2
2n(2n - 1)
L.., cotan - - = a 1 - 2a2 =
,
k= I
2n + 1
3
puis, comme 'Vk E {n + 1, ... ,2n},
kn
(2n + l - k)n
cotan - - = - cotan - - - - -
2n + l
2n+ l
~
. 2 kn
1 ~
2 kn
n (2n - 1)
L.., cotan - - = - L.., cotan - - =
.
k= 1
2n + 1 2 k= 1
2n + 1
3
c) Pour u E Jo; ~ [ :
1
• 0 < u < tan u donc cotan 2 u < 2 u
l
1
• O
Stn U
U
d) De c) on déduit: 'Vn E N*, Vk E {I , . .. ,n},
(
2n + l )
2
2 kn
0 < - -
-cotan - -
< 1,
kn
2n + 1
d'où, en sommant et en utilisant b) :
'VnEN* , 0
< (2n + 1)
2
~ _.!.._ _ n(2n - 1)
rr 2
L.., k2
3
k= I
< n,
et donc:
'Vn E N*,
n 2 n(2n - 1)
" 1
2rr 2 n(n + 1)
- - - - - < L - < - - - - -
3(2n + 1)2 k= 1 k2
3(2n + 1)2 '
n
1
7r2
d'où: L - ~ -
k= I k2 noo
6
a) En utilisant une comparaison série-intégrale, on déduit :
+oo 1
1 +00 1
1
L k3 n~
x3 dx = 2n2 .
k=n+ I
n
Puis, par composition d'équivalents par le logarithme
( _!__2 ~ 0 ,t: 1) :
2n
noo
ln( ~ _. !. . _ ) ~ ln ( -
1
) = - 2 ln n.
L.., k3
1100
2n2
k=n+ I
Réponse : e.
b) D'après l'étude du reste d'une série relevant du TSCSA
(cf. 4 .3.8 2) c) p. 268) :
1
+oo (- l i 1 !( _ l_
L k ~ n+ I '
k=n +I
d'où
(1
+oo (- l )k ld,;; )
ln(n+ l )
ln
L -:::::; - --- ~ -oo.
k=n + 1 k
ln ln n
noo
Réponse: O.
Puisque la série L u n, à termes ;?: 0 , est divergente, on a
n
Un
Sn~ +oo,etdonc - ~O.
1100
Sn 1100
U n
( U n)
Alors - ~ - ln 1 - -
=ln S 11 - ln Sn-1 ·
Sn 1100
Sn
La série L (l n Sn - ln S 11 _ 1), à termes ;?: 0, diverge, puisque
11;;.2
n
L (ln Sk- ln Sk- 1)= ln S 11 - ln S 1 ~ +oo.
b2
noo
D'après un théorème d e sommation des relations de comparaison (4.3.9 2) Prop. 3 p. 271), on déduit :
11
n
L Uk ~ L (ln sk - ln sk_ J) = ln Sn - ln S1,
k= i sk noo k= '
et donc v,, ~ 1.
noo
M o ntre r (comme da ns la solutio n de l 'exercice 4.3. 10
p.63 1) :
'Vk EN - {0, 1},
d'où, en sommant :
n
11
'Vn EN*, 2 L uksk = s,7 + L ur
k= I
k=I
1 637
0
c
:J
0
(V)
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0
N
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.......
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1
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1
1
• 'Vn E N 'f:J k(k + 2) = 4 - 2(n + 1) - 2(n + 2) ·
-
2kn
- iek
a) En notant, pour k E {0, ... ,2n}, fh - - - et wk - e ,
·
2n + 1
on a, pour tout z de
z - i ) 2n+ I
z- i
- .
= 1 {::::::} (3k E {0, ... ,2n}, -
. = Wk)
z+ 1
z+ i
. l + Wk
{::::::} (3k E {l , .. . ,2n}, z = 1 - -).
l - Wk
iok
iok
. l + wk
. e T + e - T
kn
De plus : 1 - - - = - 1 .
.
=-cotan - - .
1 - Wk
~
- ~
2n + 1
e 2 - e 2
R éponse : { -cotan __!:.!!__; k E { 1, ... , 2n} } .
2n+ 1
b) En développant par la formule du binôme de Newton :
- -.
= 1 {::::::} (z + i)2n+l - (z - i)2n +l = 0
(
z - i) 2n+ l
z + 1
C l . 2n C 3 .3 2n- 2
{::::::} 2 2n + J IZ + 2 2n + J l z
+ ... = O.
En notant a1 , a2, ... , les fonctions symétriques élémentaires
de l'équation algébrique précédente, on a :
C
3
3
2 2n + li
O" J = 0 et a2 = - - - -
2C;n + li
n(2n - l )
3
d'où :
~
2 kn
2
2n(2n - 1)
L.., cotan - - = a 1 - 2a2 =
,
k= I
2n + 1
3
puis, comme 'Vk E {n + 1, ... ,2n},
kn
(2n + l - k)n
cotan - - = - cotan - - - - -
2n + l
2n+ l
~
. 2 kn
1 ~
2 kn
n (2n - 1)
L.., cotan - - = - L.., cotan - - =
.
k= 1
2n + 1 2 k= 1
2n + 1
3
c) Pour u E Jo; ~ [ :
1
• 0 < u < tan u donc cotan 2 u < 2 u
l
1
• O
Stn U
U
d) De c) on déduit: 'Vn E N*, Vk E {I , . .. ,n},
(
2n + l )
2
2 kn
0 < - -
-cotan - -
< 1,
kn
2n + 1
d'où, en sommant et en utilisant b) :
'VnEN* , 0
< (2n + 1)
2
~ _.!.._ _ n(2n - 1)
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L.., k2
3
k= I
< n,
et donc:
'Vn E N*,
n 2 n(2n - 1)
" 1
2rr 2 n(n + 1)
- - - - - < L - < - - - - -
3(2n + 1)2 k= 1 k2
3(2n + 1)2 '
n
1
7r2
d'où: L - ~ -
k= I k2 noo
6
a) En utilisant une comparaison série-intégrale, on déduit :
+oo 1
1 +00 1
1
L k3 n~
x3 dx = 2n2 .
k=n+ I
n
Puis, par composition d'équivalents par le logarithme
( _!__2 ~ 0 ,t: 1) :
2n
noo
ln( ~ _. !. . _ ) ~ ln ( -
1
) = - 2 ln n.
L.., k3
1100
2n2
k=n+ I
Réponse : e.
b) D'après l'étude du reste d'une série relevant du TSCSA
(cf. 4 .3.8 2) c) p. 268) :
1
+oo (- l i 1 !( _ l_
L k ~ n+ I '
k=n +I
d'où
(1
+oo (- l )k ld,;; )
ln(n+ l )
ln
L -:::::; - --- ~ -oo.
k=n + 1 k
ln ln n
noo
Réponse: O.
Puisque la série L u n, à termes ;?: 0 , est divergente, on a
n
Un
Sn~ +oo,etdonc - ~O.
1100
Sn 1100
U n
( U n)
Alors - ~ - ln 1 - -
=ln S 11 - ln Sn-1 ·
Sn 1100
Sn
La série L (l n Sn - ln S 11 _ 1), à termes ;?: 0, diverge, puisque
11;;.2
n
L (ln Sk- ln Sk- 1)= ln S 11 - ln S 1 ~ +oo.
b2
noo
D'après un théorème d e sommation des relations de comparaison (4.3.9 2) Prop. 3 p. 271), on déduit :
11
n
L Uk ~ L (ln sk - ln sk_ J) = ln Sn - ln S1,
k= i sk noo k= '
et donc v,, ~ 1.
noo
M o ntre r (comme da ns la solutio n de l 'exercice 4.3. 10
p.63 1) :
'Vk EN - {0, 1},
d'où, en sommant :
n
11
'Vn EN*, 2 L uksk = s,7 + L ur
k= I
k=I
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