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0
c
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(V)
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0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
1
2
k
*
d'où tant = -
- - - , et donc, pour E N :
tant
tan 2t
l
X
2
k tan 2k = - - -x2k tan -
2k
Réponse:
X
.
2k-l tan - -
2k- I
1
1
l
- - - - +tanx
x
tanx
six E ]- ~; ~ [ -{O}
0
si X= 0
2 ch 2t + 1
t) Remarquer : 'Vt E IR , 2 ch t - 1 =
, d'où :
2 cht + 1
n
X
)
L ln ( 2 ch 2
k - 1
k=Ü
= to(1n(2ch 2
;_ 1 + 1)-1n(2ch;k + 1))
= ln(2 ch 2x + 1) - ln ( 2 ch ;n + 1)
----+ ln (2 ch 2x + 1) - ln 3.
noo
2 ch2x + l
Réponse : ln
3
u) Montrer:
2
4 ch 2 2t + 2 ch 2t - 1
'V t E IR , 4 ch t - 2 ch t - 1 =
2
4 ch t + 2 ch t - 1
Réponse : ln ( ~ ( 4 ch 2 2x + 2 ch 2x - 1)) .
On a, pour tout p de N :
• Si ab ~ 1, alors u2 p -T-+ 0, donc L Un diverge.
poo
n
l +b
•Si ab < 1, alors S2p+ l ----+ -
1
.
b' u2p+ l ----+ 0 ,
poo
- a
poo
1 +b
S2 ----+ - -.
P
poo
1 - ab
Réponse : L Un converge si et seulement si a b < l .
n
+oo
1 + b
Si ab < l , alors'°"' Un = --b.
L.,
l - a
n=O
Remarque : pour l'étude de la convergence de L un, la règle
n
de d'Alembert ne s'applique pas (si a =f:. b), mais la règle de
Cauchy (cf. exercice 4.2.14 p. 240) s'applique.
a) Pour tout n de N* :
n (
1
1
1 )
Un = ~ X + 2k + 1 + X + 2k - X + k
2n+ 1
l
1 n
1
= L x+k=;:; L
x+ l
p
k=n+ l
p=Ü 1 + - - + -
n
n
1 n
1
Notons, pour n E N*, Vn = ;:; L -- 1
- 1 ·
p=O 1 + -
n
1
D'une part: Vn ----+ r ~ =ln 2.
n oo
Jo 1 +X
D'autre part :
x+ l
l~
- nlun- vn l =- L.,
(
x+ l
p)
n p=O ( l + ~) l + -n- + -;:;
(n + l)(x + 1)
O
::::;
2
----+ .
n
noo
On conclut : Un ----+ ln 2.
noo
n (
1
1
1
)
b) ~ (x + 2k + 1)2 + (x + 2k)2 - (x + k) 2
2n+ l
l
= L cx +k)2 ~ o,
k=n + I
2n+ I
1
n + 1
o ::::; L
2 ::::;
2·
k=n+ l (x + k)
(x + n + 1)
car
Notons, pour n E N* :
Pn(X) = (x + 1)(2x + 1) ... (nx + 1)
et
n
fn (x) = Pn (x).
Montrer, par récurrence :
'Vn EN*,
n
1
x L fk (x) = l - - - .
k= l ·
Pn(X)
l
Réponse: -
X
n
1
1 n (1
1 )
• { ; k(k + 2) = 2 {; k - k + 2
= ~ ( 1 + ~ - n: l - n: 2)
3
2n + 3
4
2(n+ l )(n+2)
(
4 "
1
)
(
2(2n + 3) )
• n ln 3 {; k(k + 2) = n ln 1 - - 3( _n_+ _ l- )(_ n_+_2 _)
4
n oo
3