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0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Pour tout N E N*, il existe K E N te l que :
'Vn E {l , ... ,N ), lan l ~ K ,
et on a alors
N
1
K (
1 )
+oo (
1 )
I:- 3 ~ I: L::-3 ~ I: L::-3,
n=l lan 1 k=Ü nESk lan 1
k=Ü nESk la,, 1
l
ce qui montre que L -- 3
converge.
n;;;. I la,,I
a) Pour montrer que (n-(1 + ~ )) décroît, étudier les vaneN•
riations de f : [ 1; +oo[----+ IR
x ~ (1 + ~)inx
On pourra alors appliquer le TSCSA.
Réponse : converge.
1
1
b) •Si a ~ 0, alors lu,, I = nl +na ~ n 2"
•Si a < 0, étudier les variations de
f: [l ; +oo[----7 IR afin d'appliquer le TSCSA.
x ~ -(l + x")ln x
Réponse : converge pour tout a de IR.
c) Le TSCSA s'applique car (lu,, 1),, 2 1 décroît et lu,, 1 ----7 0
r
1100
1
1
(puisque 1 + - + ... + - ----7 + oo ).
2
n 1100
Réponse : converge.
l
" 1
ln n
1
d) • lu,,I = - 1
( ') L: - k
- 1
- = - ----7 O.
n n. k= l noo n nn
n 11 00
(
n l)
1
11
L k ln(n + 1) - n + 1
Llnk
k= l
k= l
• lun 1 - lun+ 1 I = - - - - - - - - - - - - -
ln (n!) ln((n + 1)!)
n l
n
Comme '°"' -~ Inn e t '°"'Jnk ~ nlnn , ondéduit
~knoo
~
11 00
k=l
k= l
(lnn) 2
l
.
lun 1 - lu 11 + 1 I ~
2
= 2 > 0, ce qui montre que
11 00 (n ln n)
n
(lun 1) 11 :;,2 décroît à partir d'un certain rang .
On peut alors appliquer le TSCSA.
Réponse : converge .
• On a, pour tout N de N* :
n
11 non carré
N l
N
2
( -1) 11
N ( -1) 11 2
='°"' - +'°"' -
-L: - .
~ n2
~
n
n2
n= l
n= l
n= l
l
Comme les trois séries L 2'
n n
N2
convergent, on déduit : L Uk ----7 S,
k= l
Noo
+oo 1
+oo (-1)"
+oo (- 1)"
où S = L n2 + L: - n - - L ----;;1·
n=l
n= l
n= l
•Pour tout M de N*, il existe NE N* te l que
N 2 ~ M ~ (N + 1)
2 - 1,
et on a:
M
N 2
M
L Un = L Un + L Un.
n=l
n= l
n=N2+ l
M
M
(-l)n
Mais
L u,, = L -- ------? 0 d'après la CNS
n=N2+ I
n=N2+]
n
M~oo
C h
l
. , ' 1 , . '""' ( - l)n
de auc y de convergence app 1quee a a sene ~ - - .
n
n
+oo l
JT2
•On verra (exercice 4.3.21 p. 266 ou § 7.4) que L n 2 = 6
n= l
+oo (-I)"
rr2
+oo (-1)"
et'°"' - 2
- = - - , et(§6.5.3 4)) que L : - - = - ln2.
~ n
12
n
n= l
n=l
On a, pour tout n de N* :
n
n
L ukuk = L:cuk - uk-1Wk
k=l
k= l
Il
= L:cul - uk _ , cuk- 1 + uk))
k= 1
n
= L:cul - uf_ 1 - CUk - uk)uk)
k= l
n
n
d'où: 'Vn EN*, 2 LukUk = u; + L:af'.
k=O
k=O
La suite (U,,) 11 :;,o converge, puisque la série Lu,, converge
n
d'après le TSCSA.
Ceci mo ntre que L Un Un converge si et seulement si La'!;
n
n
converge, et que, dan s le cas de convergence, on a :
Par exemple, en appliquant Je résultat ci-dessus à la suite dé1
finie par a 11 = - - , on obtient:
n+l
+oo (-1)
11 ( n (-l)k )
l (
2 rr2)
L : - L : - =- (ln2) +11=1 n
k= l
k
2
6
(cf. Exercice 4.3.21 p. 226 et§ 6.5.3 4)).
1 631
0
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Pour tout N E N*, il existe K E N te l que :
'Vn E {l , ... ,N ), lan l ~ K ,
et on a alors
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K (
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+oo (
1 )
I:- 3 ~ I: L::-3 ~ I: L::-3,
n=l lan 1 k=Ü nESk lan 1
k=Ü nESk la,, 1
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ce qui montre que L -- 3
converge.
n;;;. I la,,I
a) Pour montrer que (n-(1 + ~ )) décroît, étudier les vaneN•
riations de f : [ 1; +oo[----+ IR
x ~ (1 + ~)inx
On pourra alors appliquer le TSCSA.
Réponse : converge.
1
1
b) •Si a ~ 0, alors lu,, I = nl +na ~ n 2"
•Si a < 0, étudier les variations de
f: [l ; +oo[----7 IR afin d'appliquer le TSCSA.
x ~ -(l + x")ln x
Réponse : converge pour tout a de IR.
c) Le TSCSA s'applique car (lu,, 1),, 2 1 décroît et lu,, 1 ----7 0
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1100
1
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(puisque 1 + - + ... + - ----7 + oo ).
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Réponse : converge.
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L k ln(n + 1) - n + 1
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k= l
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• lun 1 - lun+ 1 I = - - - - - - - - - - - - -
ln (n!) ln((n + 1)!)
n l
n
Comme '°"' -~ Inn e t '°"'Jnk ~ nlnn , ondéduit
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11 00
k=l
k= l
(lnn) 2
l
.
lun 1 - lu 11 + 1 I ~
2
= 2 > 0, ce qui montre que
11 00 (n ln n)
n
(lun 1) 11 :;,2 décroît à partir d'un certain rang .
On peut alors appliquer le TSCSA.
Réponse : converge .
• On a, pour tout N de N* :
n
11 non carré
N l
N
2
( -1) 11
N ( -1) 11 2
='°"' - +'°"' -
-L: - .
~ n2
~
n
n2
n= l
n= l
n= l
l
Comme les trois séries L 2'
n n
N2
convergent, on déduit : L Uk ----7 S,
k= l
Noo
+oo 1
+oo (-1)"
+oo (- 1)"
où S = L n2 + L: - n - - L ----;;1·
n=l
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•Pour tout M de N*, il existe NE N* te l que
N 2 ~ M ~ (N + 1)
2 - 1,
et on a:
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N 2
M
L Un = L Un + L Un.
n=l
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n=N2+ l
M
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(-l)n
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L u,, = L -- ------? 0 d'après la CNS
n=N2+ I
n=N2+]
n
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. , ' 1 , . '""' ( - l)n
de auc y de convergence app 1quee a a sene ~ - - .
n
n
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•On verra (exercice 4.3.21 p. 266 ou § 7.4) que L n 2 = 6
n= l
+oo (-I)"
rr2
+oo (-1)"
et'°"' - 2
- = - - , et(§6.5.3 4)) que L : - - = - ln2.
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12
n
n= l
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On a, pour tout n de N* :
n
n
L ukuk = L:cuk - uk-1Wk
k=l
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Il
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k= 1
n
= L:cul - uf_ 1 - CUk - uk)uk)
k= l
n
n
d'où: 'Vn EN*, 2 LukUk = u; + L:af'.
k=O
k=O
La suite (U,,) 11 :;,o converge, puisque la série Lu,, converge
n
d'après le TSCSA.
Ceci mo ntre que L Un Un converge si et seulement si La'!;
n
n
converge, et que, dan s le cas de convergence, on a :
Par exemple, en appliquant Je résultat ci-dessus à la suite dé1
finie par a 11 = - - , on obtient:
n+l
+oo (-1)
11 ( n (-l)k )
l (
2 rr2)
L : - L : - =- (ln2) +11=1 n
k= l
k
2
6
(cf. Exercice 4.3.21 p. 226 et§ 6.5.3 4)).
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