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c
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N
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......,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
La série L Xn converge (puisque L Zn converge), donc
n
n
L IYn 1 converge. Puis, comme:
n
Vn EN, lzn l = Jx~ +Y~ ~ Xn + IYnl,
on conclut que L lzn 1 converge.
n
y
X
• Vn E N, lun+l I = 1 n + 1 3 Un+
n 31
(n + 2)
(n + 2)
n + 1
n
l
~
3
lu,. I +
3
~ lun 1 +
2
,
(n + 2)
(n + 2)
(n + 1)
d'où en sommant :
n
1
VnEN*, lun l~ luo l +Lk 2 ~ M
k= l
+oo 1
où M = luol + L k 2 .
k=I
n + 1
n
• Vn E N, lun+l I ~ (
2
) · 3 iunl +
2
) 3
n +
(n +
n+l
n
M+l
~
M+
~ - -
(n + 2)3
(n + 2)3 ~ n2
Réponse : converge absolument, donc converge.
•Montrer qu'il existe C E JR~ tel que :
Vx E ]-~; +oo[, lln(l +x)-(x - x 2
2 )1 ~ Clxl
3 .
•On a alors: Vk E N - {O, 1},
ln 1 +
-
- -
1 (
(-l)k- 1)
((-l)k- 1
1)1
.fi
.fi
2k
c
~ k3/ 2.
Il en résulte que la série
( (
(-l)k- 1)
((-l)k- 1
1 ))
L:: ln 1+
-
- -
k~
.fi
.fi
~
converge absolument, donc converge.
n
(
( l)k-1)
En notant, pourn EN - {0, l}, Un = L ln 1 + - .fi ,
k=2
n (-ll-1
n
1
Vn = L .fi , Wn = - L 2
k,
il existe donc L E IR
k=2
k=2
tel que:
Un - (Vn + Wn) -----+ L.
noo
• La série
est semi-convergente ; notons
V= limvn.
noo
D'autre part (cf. 4.3.7 2) Exemple p. 259):
1 n 1
1
Wn = - - L - = - - (-1 +Inn+ y+ o (1)).
2 k=2 k
2
noo
1
1 - y
On déduit: u 11 = - 2
Inn+ -
2
- + L +V+ o(l),
n (
(-l)k- 1)
a
et donc Jl 1 + .fi ~ r.::'
k= 2
k
noo ....;n
1- y
où a= e --r+L+v.
Notons, pour tout k de N ,
Sk = {n EN*; k ~ lanl < k + l}.
Pour k E N* fixé, les disques { z E C ; lz - a11 I ~ ~} sont
deux à deux extérieurs et tous inclus dans la couronne
1
1
{z E C; k- 2 ~ lz l ~ k + 2). En passant aux aires, on a
donc:
Vk E N*, ~ Card(Sk) ~ rr ( ( k + ~)
2
- ( k - ~)
2
)
= 2rr(2k + 1) ,
d'où: Vk E N*, Card(Sk) ~ 8(2k + 1), et donc:
Vk "'* "°' _ l_ 8(2k + 1) 24
E"' ' ~
3 ~
3
~ 2·
n E Sk lan I
k
k
D'autre part, on voit facilement queCard(So) ~ 9. Ceci montre
que la série L ( L ~) converge.
k ;<:O n E Sk lan I
y
k+~
2
X