"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Pour tout k de N, deux intégrations par parties fournissent :
l 1 k+ 1
(
1)2
-
J"(t) t-k- -
dt
2 k
2
1
1
= 8
u'ck + 1) - .r'ckn - 2
uck + 1) + f(k))
1
k+ I
+
f.
k
D'où, pour tout n de N :
1 r (
1) 2
2, Jo f"(t) t - E(t) - 2, dt
l n- 1
l n- 1
= 8 ~).t'Ck + 1) - f'(k)) - 2
L Cf(k + 1) + f(k))
k=O
k=O
+ Ion f
1
1
n
li"
= - (f'(n) - J ' (O)) + -(f(n) + f( O)) - L f(k) + f.
8
2
k=O
0
b) E n appliquant a) à f : t t----+ (t + 1) - a, on obtient, en
1 Ion a(a + 1) (
1 )
2
notant l n(a) = -
2
t - E(t) - -
dt:
2 Q
ta+
2
\ln EN*,
n
1 1( a ) 1(1 )
"' - =- - - +a + - - + l
L., ka
8
na+ 1
2 na
k= I
1
1
+- - -
- l n(a).
a -1
(a - l)na-1
On a:
\ln EN*,
1 Io" a(a + 1) 1
O ~ ln(a)~ -
2
- dt
2 0
ta+
4
~ a(a + 1) r+
00 ~ - ~
"'
8
Jo ia+2 - 8 ·
D'où, en passant à la limite lorsque n tend vers l'infini :
1
1
1
1 a
--+- ~Ç(a) ~ --+-+- .
a-1
2
a-1
2
8
Appliquer la Remarque p. 243.
a) Prendre a,, = E(en ) + 1, fJn = E(e" + 1 ) - 1.
b) Prendre
an = E (é- ~+
2
"rr ) + 1, fJn = E(é~+
2
•m) - 1.
a) 1 (- 1)" (tan1
- - si n -
1
) 1 ~ -
1
- .
Jn
Jn noo 2n3/ 2
Réponse : absolument convergente, donc convergente.
pour n ----+ oo .
Réponse : absolument convergente, donc convergente.
c) ls in (nJn4+ 1)1 = lsin(nn
2
(1 + n
1
4 ) ~ )1
= 1 sin ( n n
2 + 2 : 2 + o ( : 2 ) ) 1
= lsin ( 2 : 2 + 0 (:2 )) 1 . ~ 2 :2·
Réponse : absolument convergente, donc convergente.
=exp(2lnn+nlnthla+~I) ~ O ,
car ln th la+ ~ 1----+ ln thla l < 0.
n
noo
Réponse : absolument convergente, donc convergente.
e) 1 e méthode
Un= {ln(n+ I )
sinx
dx
J1n n
Jx3+x+l
1
n+I
sin(ln y)
y~x n yJ(lny)3 + ln y + 1 dy,
1
n+ I
dy
d'où lun 1 ~
3 ~
3 ,
n
y(ln y)2
n(lnn) 2
1
et L n(lnn) 312 converge.
n;;,2
2e méthode
t {ln(k+ I ) sin x k=I J1n k
Jx3+x+ 1
!o
ln(n+ 1)
sin x
-
- 0
Jx3+x+ 1
l o
+oo
sinx
------+
----;::==== noo
0
J x3 + x + 1
sinx
puisque x t----+
est intégrable sur [O; +oo[.
Jx3 +x + 1
Réponse : convergente.
Puisque
Lu,, converge et L lu,, 1 diverge et que
Il
Il
(\ln E N, u;i = ~ (u 11 + lu 11 I)) , on conclut :
Lut diverge. De même, Lu;; diverge.
11
11
Notons, pour n E N : Xn = Ré(zn). Y11 = Im(z,,).
On a donc:
\ln EN, {
Xn > Ü
IYn l ~ x,, tan a
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