"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
J
I é- 1
d) En notant À =
- - dt , on déduit du c) :
0
t
Un ~ eÀ-n
noo
Réponse : L Un converge.
n
a) • Etudier les variations de f: JR* -----+ lR
ex - 1
X t----+ ln - -·
X
On peut prolonger f par continuité en 0 en posant f (0) = 0.
X
-OO
0
+ oo
f ' (x)
+
+
f (x)
- OO
0
-----0 ------ +oo
• Etudier les variations de g = f - IdR
Ainsi, si (un)n converge, alors (un)n converge vers O.
X
-OO
0
+oo
g(x)
0 - - -
•Si u 1 > 0 (resp. < 0), alors (un)n est décroissante (resp. croissante), minorée (resp. majorée) par 0, donc converge.
Réponse: Un -----+ O.
noo
b) On a: 'v'n EN*, e
11
" = 1 + Uneun+I, d'où:
e" I = 1 + u 1 e"2 =1 + u 1 (1 + u 2 e"3) = ... ,
et donc, par récurrence :
vn EN*, :f=u 1 ••• uk =e"
1
-1-(TI uk)e""+2.
k= l
k= I
n+ l
Enfin, TI Uk -----+ 0 puisque u 11 -----+O.
k= I
noo
11 00
+oo ( n
)
Réponse : L TI Uk = e
0
-
1.
n= I k= l
Les abscisses x 11 (n E N*) des extremums locaux de f sont défi nies par:
On a alors :
1
71:
71:
--. + nn: < x < - + nn:
2
11
2
.
2xn - tanxn = 0
. 2
tan
2 Xn
Stn X 11 = --~1 + tan 2 x 11
4x 2
Il
2'
1 +4xn
4x 11
1
1
d'où : f (Xn) =
~ - ~ - .
1 + 4x2 noo X 11 noo nn:
n
Réponse : diverge.
PourtoutkdeN ,notons Ek = {n EN*; 3k :::::; n :::::; 3k+ I -1},
qui est l'ensemble des entiers n ~ 1 dont l'écriture en base 3
comporte exactement k + 1 chiffres.
Pour k E N et i E {0,. .. ,k}, l'ensemble des n de Ek tels que
a (n ) = i est de cardinal C~2k+ l - i .
D'où, pour tout k de N :
Jk+l _ J
k
.
L
xa (n) = L C~xi2k+ l -i =2(x+2l ,
n=3k
i=O
3 H I ]
2(x + 2)k
- x a(n)
2(x + 2)k
puis :
:::::; '°' -- : : : : : ; ---(3 k+ 1 ) 3
n':::Jk n3
(3k) 3
E fi 1 , . ,
, .
'"'(X+ 2) k
.
n rn , a sen e geometnque ~ - -
3
-
converge s1 et seuk
3
x+ 2
lement si T < 1.
x a(n)
Réponse : L - 3
- converge si et seulement si x < 25 .
n;;. l n
1) Supposons que L R,, converge. On a :
n
N
N -1
+oo
'v'NE N, 2:nu11 :::::; L R11 :::::; LRn,
n=O
n=O
n=O
donc (lemme p. 226) L nun converge.
n
2) Réciproquement, supposons que L nun converge.
n
On a:
N
N
+oo
'v'N EN, L R,, = L nu,, + (N + 1) L Un
11= 0
n= l
n=N+ l
N
+oo
+oo
:::::; L: nu,, + L nun = 2: nu11 ,
11=0
11=N+ l
11=0
donc (lemme p. 226), L Rn converge.
n
3) Dans le cas de convergence, on a :
+oo
+oo
L nun :::::; L Rn d ' après 1)
11=0
n=O
+oo
+oo
L R,, :::::; L nu,, d ' après 2)
n=O
n=O
On a, pour tout n de N :
~Ion f "
=-2:
J "(t) t - k - -
dt.
2 k=Ü k
2
0
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d) En notant À =
- - dt , on déduit du c) :
0
t
Un ~ eÀ-n
noo
Réponse : L Un converge.
n
a) • Etudier les variations de f: JR* -----+ lR
ex - 1
X t----+ ln - -·
X
On peut prolonger f par continuité en 0 en posant f (0) = 0.
X
-OO
0
+ oo
f ' (x)
+
+
f (x)
- OO
0
-----0 ------ +oo
• Etudier les variations de g = f - IdR
Ainsi, si (un)n converge, alors (un)n converge vers O.
X
-OO
0
+oo
g(x)
0 - - -
•Si u 1 > 0 (resp. < 0), alors (un)n est décroissante (resp. croissante), minorée (resp. majorée) par 0, donc converge.
Réponse: Un -----+ O.
noo
b) On a: 'v'n EN*, e
11
" = 1 + Uneun+I, d'où:
e" I = 1 + u 1 e"2 =1 + u 1 (1 + u 2 e"3) = ... ,
et donc, par récurrence :
vn EN*, :f=u 1 ••• uk =e"
1
-1-(TI uk)e""+2.
k= l
k= I
n+ l
Enfin, TI Uk -----+ 0 puisque u 11 -----+O.
k= I
noo
11 00
+oo ( n
)
Réponse : L TI Uk = e
0
-
1.
n= I k= l
Les abscisses x 11 (n E N*) des extremums locaux de f sont défi nies par:
On a alors :
1
71:
71:
--. + nn: < x < - + nn:
2
11
2
.
2xn - tanxn = 0
. 2
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2 Xn
Stn X 11 = --~1 + tan 2 x 11
4x 2
Il
2'
1 +4xn
4x 11
1
1
d'où : f (Xn) =
~ - ~ - .
1 + 4x2 noo X 11 noo nn:
n
Réponse : diverge.
PourtoutkdeN ,notons Ek = {n EN*; 3k :::::; n :::::; 3k+ I -1},
qui est l'ensemble des entiers n ~ 1 dont l'écriture en base 3
comporte exactement k + 1 chiffres.
Pour k E N et i E {0,. .. ,k}, l'ensemble des n de Ek tels que
a (n ) = i est de cardinal C~2k+ l - i .
D'où, pour tout k de N :
Jk+l _ J
k
.
L
xa (n) = L C~xi2k+ l -i =2(x+2l ,
n=3k
i=O
3 H I ]
2(x + 2)k
- x a(n)
2(x + 2)k
puis :
:::::; '°' -- : : : : : ; ---(3 k+ 1 ) 3
n':::Jk n3
(3k) 3
E fi 1 , . ,
, .
'"'(X+ 2) k
.
n rn , a sen e geometnque ~ - -
3
-
converge s1 et seuk
3
x+ 2
lement si T < 1.
x a(n)
Réponse : L - 3
- converge si et seulement si x < 25 .
n;;. l n
1) Supposons que L R,, converge. On a :
n
N
N -1
+oo
'v'NE N, 2:nu11 :::::; L R11 :::::; LRn,
n=O
n=O
n=O
donc (lemme p. 226) L nun converge.
n
2) Réciproquement, supposons que L nun converge.
n
On a:
N
N
+oo
'v'N EN, L R,, = L nu,, + (N + 1) L Un
11= 0
n= l
n=N+ l
N
+oo
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:::::; L: nu,, + L nun = 2: nu11 ,
11=0
11=N+ l
11=0
donc (lemme p. 226), L Rn converge.
n
3) Dans le cas de convergence, on a :
+oo
+oo
L nun :::::; L Rn d ' après 1)
11=0
n=O
+oo
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L R,, :::::; L nu,, d ' après 2)
n=O
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On a, pour tout n de N :
~Ion f "
=-2:
J "(t) t - k - -
dt.
2 k=Ü k
2