-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
......,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
• Comme L:x?; et L Y?; convergent, L M
2 (x?; +y?;)
n
n
n
converge et donc (théorème de majoration) LU(xn , yn))
2
Il
converge.
n
Pour tout n de N*, notons Sn = L up. On a, pour tout
p=l
n > no:
nk
11 - I
k
S11k - Snok = L Up = L Luik+j
p=nok+ I
i=no j= I
n- 1
n- 1
~ Lku(i+l )k ~ Lu;+ 1
Î = no
i= no
=Sn - Sno·
Si L u 11 converge, alors (S 11 )n admet une limite S, d'où
Il
nok
Mais d'autre part: S,, 0 k - S 110 = L up > 0 ,
p=no+l
d'où une contradiction.
Pour tout n de N*, les entiers f ( 1) , ... ,f (n) sont deux à deux
distincts, d'où :
1
Il
'
(n + l)! D f(k) ;;::: (n :· l)!
l
n+l
a) L'application f : [ 1; +oo[ ---7 IR est strictement croissante,
x ~ x-lnx
continue, etf(l) = 1, lim f = +oo.
+oo
h)Xn=f- 1 (n)----+ +oo, donc n=x 11 -lnx 11 ~ xn.
1100
1100
Réponse: converge si et seulement si a < -1.
• Montrer que (u 11 ) 11 ~ 0 est décroissante, minorée par 0, donc
converge, et que sa limite 1 vérifie (1 + 1) 3 = 1+3l, d'où
l =O.
1
•En notant U 11 = - , on a:
Un
Un - ~1 + 3u 11 + 1
Un+I - Un = - - - - - - - -
unun+ l
u,, - (1 +Un - u; + o(u;)) + 1
Un (un + o(un))
-----+ 1.
noo
D'après le lemme de l'escalier ou d'après le théorème de Césaro
1
(cf.AnalyseMPSIP3.l),ondéduit U 11 ~ n,etdoncu 11 ~ - .
noo
noo n
Réponse : converge si et seulement si a > l .
*
1
On a
(V'n EN , lu 11 + 1 I ~ -) , donc Un -----+ 0 , puis
n
noo
COS Un
1
Un + l = - t- 1 - n~ ;;·
Réponse : converge si et seulement si a > 1 .
1) Supposons que L Un converge.
Il
Puisque: V'n EN* , V 11 +l (Vn + l - Vn) =~Un,
on déduit que L v 11 + 1 (vn+l - Vn) converge. De plus,
n
(\ln E N*,vn+ I ):: Vn):: O), donc LVn(Vn+l -vn) converge
Il
aussi. Ensuite, par addition, I:cv;+I - v?;) converge, (v?;)n
n
converge, (vn)n converge.
2) Réciproquement, supposons que (vn)n converge. Alors, la
suite Cv?;) 11 converge, donc la série I:cv;+I - v?;) converge.
n
Comme (\ln EN*, Vn+I (v 11 +1 - Vn) ~ v;+l - v?;),
la série L Vn+l (v 11 +1 - v11 ) converge, et finalement, L u 11
n
Il
converge.
a) Etudier f :]0; 1) ---7 IR .
1
1 e'
X~
- dt
X
f
Comme ri eldt ):: ri ~dt=-lnx ,
lx t
lx t
on déduit lim f = +oo.
Q+
Ainsi, f réalise une bijection de ]O; 1) sur [O; +oo[.
X
0
f
b) Un= J- 1 (n)-----+ O.
noo
n
:---..
0
c) Vn = ri~ dt - ri dt= r] _e'_-_l dt
lu, , t
lu, , t lu, , t
-----+
noo
e
1 -1
car t ~ - - est intégrable sur ]O; l].
t
l o
i e' - 1
Réponse : Vn -----+
- - dt.
noo
o t
l o
i et - 1
- - dt
0
t
,
1 627
0
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Il
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n
Pour tout n de N*, notons Sn = L up. On a, pour tout
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n > no:
nk
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k
S11k - Snok = L Up = L Luik+j
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i=no j= I
n- 1
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~ Lku(i+l )k ~ Lu;+ 1
Î = no
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=Sn - Sno·
Si L u 11 converge, alors (S 11 )n admet une limite S, d'où
Il
nok
Mais d'autre part: S,, 0 k - S 110 = L up > 0 ,
p=no+l
d'où une contradiction.
Pour tout n de N*, les entiers f ( 1) , ... ,f (n) sont deux à deux
distincts, d'où :
1
Il
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(n + l)! D f(k) ;;::: (n :· l)!
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a) L'application f : [ 1; +oo[ ---7 IR est strictement croissante,
x ~ x-lnx
continue, etf(l) = 1, lim f = +oo.
+oo
h)Xn=f- 1 (n)----+ +oo, donc n=x 11 -lnx 11 ~ xn.
1100
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Réponse: converge si et seulement si a < -1.
• Montrer que (u 11 ) 11 ~ 0 est décroissante, minorée par 0, donc
converge, et que sa limite 1 vérifie (1 + 1) 3 = 1+3l, d'où
l =O.
1
•En notant U 11 = - , on a:
Un
Un - ~1 + 3u 11 + 1
Un+I - Un = - - - - - - - -
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u,, - (1 +Un - u; + o(u;)) + 1
Un (un + o(un))
-----+ 1.
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D'après le lemme de l'escalier ou d'après le théorème de Césaro
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(cf.AnalyseMPSIP3.l),ondéduit U 11 ~ n,etdoncu 11 ~ - .
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Réponse : converge si et seulement si a > l .
*
1
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(V'n EN , lu 11 + 1 I ~ -) , donc Un -----+ 0 , puis
n
noo
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1
Un + l = - t- 1 - n~ ;;·
Réponse : converge si et seulement si a > 1 .
1) Supposons que L Un converge.
Il
Puisque: V'n EN* , V 11 +l (Vn + l - Vn) =~Un,
on déduit que L v 11 + 1 (vn+l - Vn) converge. De plus,
n
(\ln E N*,vn+ I ):: Vn):: O), donc LVn(Vn+l -vn) converge
Il
aussi. Ensuite, par addition, I:cv;+I - v?;) converge, (v?;)n
n
converge, (vn)n converge.
2) Réciproquement, supposons que (vn)n converge. Alors, la
suite Cv?;) 11 converge, donc la série I:cv;+I - v?;) converge.
n
Comme (\ln EN*, Vn+I (v 11 +1 - Vn) ~ v;+l - v?;),
la série L Vn+l (v 11 +1 - v11 ) converge, et finalement, L u 11
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a) Etudier f :]0; 1) ---7 IR .
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Ainsi, f réalise une bijection de ]O; 1) sur [O; +oo[.
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