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0
c
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0
(V)
ri
0
N
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...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
d'où, par récurrence sur p :
Vn E N* , V p E N* ,
Sz,,n ~ ( 1 + ~) ( 1 + L) · · · ( 1 + 2 P~ 1 n) Sn·
En particulier: V p E N* , Sz,, ~ vpu 1,
où on a noté vp = IT (i + ;k).
k=O
Comme (Vx E IR, 1 + x ~ ex), on a:
Vp EN* ,
p-1 ...!..
1 + 1 + + - ' -
V P ~ fl e 2k = e 2 . . . 21,- 1 < e2.
k=Ü
Ceci montre: V p E N*, Sz,, ~ e 2 u1.
Comme (Sn)n;;,i est croissante, on déduit:
Vn EN*, Sn ~ e 2 u1.
Le lemme ( 4.2.1 p. 226) permet alors de conclure.
l
1
l
Réponse : an = :Un- 1 Fn
{
Fn-Jun- 1
bn = uo
sin ~ 1
sin =0
sin ~ 1
sin =0.
Montrer: Vn EN*, n 2 un+l = (n 2 - n + l)un.
On a donc:
(
n- 1 k2-k+l)
VnEN-{0, l}, lnun= Lin
k 2
+lnu1.
k=I
k 2 - k + 1
l
k 2 - k + 1
Comme ln
2
~ - -, la série L ln 2
,
k
koo
k
k -;;: l
k
n
k 2 - k + 1
à termes ~ 0, diverge, donc L ln k 2
-----+ - OO ,
et finalement Un -----+ O.
noo
k=l
a) a) Soit s > 0 fixé. li existe Ni E N* tel que:
V(p ,q) E (N*)
2 ,
q
s)
~ p < q ~ 2= u k ~ 2 .
k=p+ I
Soit n E N* tel que n > N 1 ; on a donc :
S
n
2 ~ L Uk ~ (n - N1)un,
k=N1+1
s
d'où 0 ~ nun ~ 2 + N1un.
Comme Un -----+ 0, il existe Nz E N* tel que:
noo
noo
En notant N = Max(N1 , Nz), on obtient:
Vn > N, 0 ~ nun ~ s,
et donc nu,, -----+ 0.
1100
/3) •Puisque nu,, -----+ 0 , il existe M E IR+ tel que:
1100
Vn EN*, nun ~ M.
Onaalors: VnEN*,O ~ nu; ~ Mu,,.
Un
•
~ Un.
l - nun noo
Réponse : les séries L nu; et L Un
11
1 - nun
n
gent.
b) 1) Considérer L Un définie par :
n
converUn= l n: l
s'il existe p E N* tel que n = p 2
n2
sinon.
Montrer que L Un converge et L nu; diverge.
n
n
2) Considérer L Un définie par:
n
l
n4~1 s'il existe p E N* tel que n = p 2
U -
n
n -
1
n2
sinon.
Montrer que L u 11 converge et
fi
L _ u _n_ diverge.
1-nu,,
Si (u,,)n -;;: 1 n'est pas la suite nulle, il existe k E N* tel que
l Uk
uk > 0, et on a, pour tout n de N* tel que n ~ k: v 11 ~ - - ,
n k
d'où la divergence de L Vn.
n -;?: 1
Réponse : L Vn converge si et seulement si :
n
Vn E N*, Un = O.
• Puisque f est continue sur le compact {(x,y) E IR 2 ;
x 2 + y 2 ~ l}, il existe ME IR+ tel que:
V(x ,y) E IR
2 , (x 2 + y2 ~ 1 ~ lf(x ,y) I ~ M) .
On a alors:
V(x,y) E IR 2 - {(0,0)},
lf(x ,y) I = Jx2 + y2 jt (Jx2x+ y2 , Jx / + y2) 1
~ Mjx2+ y2.
De plus f (0,0) = 0, et donc:
V(x,y) E IR 2 , lf(x, y )I ~ MJx2 + y2.